Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 403
Gleichung p(0) = 1 + Sp(a); dabei stellt a einen ersten Näherungswert der gesuchten Wurzel dar.
Die Ordinate im Punkte a schneidet die untere Kurve in einem
Punkte b, dessen Ordinate gleich 4(a) ist. Durch den Punkt b ziehen
wir eine Parallele zur Abscissenachse, welche die obere Kurve in a
trifft. Nennen wir a' die Abscisse des Punktes a', so findet man a'
durch Auflösung der Gleichung p(a)= 1 +- 9(').
Ohne auf nähere Einzelheiten einzugehen, sieht man jetzt, dafs,
wenn man der Reihe nach die Glieder a, a, a,.. mittelst der
Gleichungen
C(0) - = p(a)
4'(a) - = (E(a)
4<~) — 1 -1 (o) ()
-1. S. W.
bestimmt, das letzte Glied der Reihe a, a' '",... der gesuchte Wert
der kleinsten Wurzel x =r ist.
21.
In beiden Fällen reduciert sich die Schwierigkeit stets darauf,
eine gewisse Anzahl von einfachen homalen Gleichungen mit Hülfe
der Formeln des Artikels 6 aufzulösen. Wir haben ferner bemerkt,
dafs die ersten Glieder der Reihe a, a', a,... mit keiner grofsen Genauigkeit berechnet zu werden brauchen. Mit Rücksicht hierauf können
daher die Rechnungen beträchtlich abgekürzt werden. Aus der Beschaffenheit dieser Rechnungen sieht man sodann, dafs die Punkte
a" a, aa",... sich sehr schnell dem Schnittpunkte P nähern, so dafs
man. stets nur eine geringe Anzahl von einfachen homalen Gleichungen
aufzulösen hat. Übrigens kann die Bestimmung der Grenze noch
abgekürzt werden, wenn man sich nach dem Verfahren in Artikel 18
ein vorläufiges Urteil über sie bildet.
Es kommt auch vor, dafs man vornherein weifs, dafs die gesuchte Wurzel r gröfser ist als eine gegebene Gröfse l; in diesem
Falle gehe man, um alle andern Werte a', 7",... zu bestimmen,
von dem Werte a -A aus, wodurch die Rechnung abgekürzt wird.
Wir bemerken ferner, dafs es im zweiten Falle vorkommen kann,
dafs man keine Lösung findet. Alsdann würde in der Reihe fp(a),
4(a'), 4(o~"),..., deren erstes Glied gröfser als 1 ist, bald eins auftreten, welches kleiner als 1 wäre, und dies würde beweisen, dafs
es zwischen den beiden Kurven keinen Schnittpunkt und somit auch
keine positive Wurzel der gegebenen Gleichung gäbe.
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