Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 397
diejenigen, in denen (k) negativ ist, und setzen wir:
A() A ' A *
(E) - b + + - b' + b' -
ax-+ x a' +x a"+- x
so nimmt die gegebene Gleichung die Form an:
1 +- p(x) = iP(x),
in welcher (p(x) und +(x) zwei abnehmende gleichförmig verlaufende
Funktionen von x sind.
Diese Gleichung kann auch dargestellt werden durch:
A B
1 + a-+ S — b-Za+x b -- x'
wenn man mit Z - die Summe der Glieder, aus denen (p(.x)
a --- x
besteht, und mit E- B die Summe der Glieder, aus denen fi(x)
besteht, bezeichnet.
Aus dem bisher Gesagten erkennt man Folgendes:
1) Die verschiedenen Werte von a sind die sämtlichen ungeraden
Zahlen und die verschiedenen Werte von b die sämtlichen geraden
Zalblen, falls F(- k) beständig positiv ist;
2) Das Umigekehrte findet statt, wenn F(-k) beständig negativ ist.
3) Diese Regel erleidet nur eine Ausnahme, wenn F(- k) und
F(- k - 1) verschiedenes Vorzeichen besitzen, in welchem Falle die
beiden Glieder, deren Nenner k + x und k + 1 + x sind, zu einer
und derselben Funktion ~p(x) oder 4 (x) gehören. Wenn es daher
vorkommt, dafs zwei aufeinanderfolgende Nenner k-+x und k-+1+ x
sich in derselben Funktion cp(x) oder 4(x) vorfinden, so mufs man
daraus schliefsen, dafs zwischen x = - k und x = - k - 1 eine
negative Wurzel liegt. Dies kann man übrigens unmittelbar beweisen.
A" A"'
Nehmen wir z. B. an, dafs in p(x) die beiden Glieder + 4 +:
vorkommen, und setzen wir nach einander x= — 3 co, x= - 4+ —o,
wo ic unendlich klein ist, so erhalten wir zwei Resultate, von denen
das eine positiv unendlich, das andere negativ unendlich ist. Mithin
liegt eine Wurzel zwischen x = - 3 und x =- 4.
15.
Um nun zur Auflösung der mit Hülfe zweier einfachen gleichförmig verlaufenden Funktionen ausgedrückten Gleichung zu gelangen,