Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Auflösung der Gleichung x2 + a = —2my. 27
(Einleitung No. XVIII) den allgemeinen Ausdruck dieser Potenz angegeben; derselbe ist 22~-~ wenn v die Anzahl der Glieder
2" + 2- + 2 +... bedeutet, deren Summe gleich der Zahl 2n ist.
357.
Um zur Auflösung der Gleichung x2 + a = 2"y, in welcher
a - 1 8 a ist, zurückzukehren, entwickeln wir 1/1 + 8 a in derselben Weise wie 1/1 + z in eine Reihe. Dies giebt:.(/ +- 8os 1 +2-1 23 1.1 26c- 1.1.3 1.1.3.5 2 4 +...
+ + 2 a 2.4 -- 2.4.6 ~, a 2.4.6.8
Ein beliebiges Glied dieser Reihe läfst sich darstellen durch N. 23na1.
Da nun N ein Bruch ist, welcher zum Nenner höchstens die 2n - te
Potenz von 2 besitzt, so verwandeln sich offenbar sämtliche Glieder
dieser Reihe in ganze Zahlen, welche durch höhere und höhere
Potenzen von 2 teilbar sind.
Wir denken uns jetzt diese Reihe nur soweit fortgesetzt, als
ihre Glieder nicht durch 2m-1 teilbar sind, und setzen unter dieser
Annahme:
=1 23- -. 6a2 t 3 3 21 24 _ +...
2 2 4 2 4.6 2.4"a 6
Der Ausdruck 92 + a oder 2 - (1 -1- 8a) kann alsdann nur aus
Gliedern bestehen, welche durch 2?" teilbar sind. Setzt man also
x - -, so genügt man der Gleichung x2 + a = 2my. Demnach ist
die allgemeine Lösung dieser Gleichung:
- 2nm-x1 ' + 4.
Um z. B. die Gleichung x2 + 15 = 21~y aufzulösen, setze man
+ a = 2 d.lh. man setze, wenn oben das untere Zeichen genommen
wird, a = 2 und behalte von der Reihe nur die Glieder bei, welche
nicht durch 2"' teilbar sind. Dadurch erhält man:
a 1 - 2' _ 1.28. 212 - 1 - 23 - 25 - 3 28.
Mit Weglassung der Vielfachen von 29 reduciert sich das Glied
- 3 28 auf - 2s oder 29 - 28 - 2'. Demnach hat man:
9 = - 8 - 32 + 256 = 217,
und allgemein:
x 512x' - 217.