Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

396 Anhang.
Setzt man in dieser Gleichung x -- k, so wird:
-) F( — l)
Dies ist der allgemeine Ausdruck des Zählers des Partialbruches,
welcher zum Nenner x + k7 hat.
In diesem Ausdruck ist Q(- k) das Produklt aller Faktoren
(1 -- k) (2- v) (3 -k)... (n - k-) mit Ausschlufs desjenigen, welcher
für einen bestimmten Wert von ik verschwindet. Man hat daher der
Reihe nach:
Q( —1)=- 12.2 s.- b -1)
1
Q(-2)- - ( — 1)
(-4) ('n- j) (n- )2..)(.- 3)
i1. S. W.
Daher ist Q(- l) positiv fiür alle ungeraden Werte von 7v und negativ
für alle geraden Werte von kv.
Bleibt F(x) für alle Werte x = - l -1, - — 3,.. - beständig positiv, so hat der Koefficient (k) offenbar dasselbe Zeiehen
wie Q(- 7) cl. h. er ist positiv für alle ungeraden Werte von k und
negativ für alle geraden Werte von k.
Das Umgekehrte findet statt, wenn F(x) ftir alle diese Werte
beständig negativ ist.
Diese Reihenfolge der Zeichen wird aber gestört, wenn F(x) für
die verschiedenen Werte x = - 1, - 2, - 3,... --- i nicht dasselbe Vorzeichen beibehält. Allgemein, wenn F(- k7) und F(-k - 1)
entgegengesetzten Zeichens sind, wodurch eine negative Wurzel
zwischen x -- k und x =-k - 1 angezeigt wird, haben die
Koefficienten (k) und ( +- 1) dasselbe Zeichen; sie sind dagegen
stets von verschiedenen Zeichen, wenn F(- k)) und F( — 7v- 1) dasselbe Zeichen haben.
14.
Bezeichnen wir allgemein mit
A A' A"
a + x a'+~ ' -+ x
die Glieder ) i) in welchen (k7) positiv ist, und mit
B B ' "
b + b x ' b'+ x '