Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 395
Diese Methode dürfte die einfachste und allgemeinste
sein, welche man in Bezug auf die Auflösung der numerischen
Gleichungen angeben kann, wenigstens so lange, als nicht besondere
Umstände die Ermittlung der Wurzeln erleichtern helfen.
Ohne die Form der gegebenen Gleichung x = (p(x) zu ändern,
könnte man nach und nach alle ihre Wurzeln finden mit Hülfe einer
geometrischen Konstruktion, welche die verschiedenen Schnittpunkte
P, P', P",... der beiden Kurven y = x, y- = p(x) erkennen läfst.
Jedoch würde die Bestimmung des zweiten Punktes P' und überhaupt
aller derjenigen, welche von gerader Ordnung sind, bedeutend schwieriger sein als die des ersten Punktes P und aller derjenigen, welche
von ungerader Ordnung sind. Da nun jede Schwierigkeit mittelst
der aufeinanderfolgenden Divisionen oder der äquivalenten Opera~tionen, die wir angeführt haben, vermieden werden kann, so stehen
wir davon ab, in weitere Einzelheiten hinsichtlich dieser Untersuchungen einzutreten.
13.
Zweite Methode für die Auflösung der numerischen Gleichungen.
Ist die Gleichung inten Grades gegeben:
xn + f/'Xn- + gxn-2 + lXn-3 +... 0
deren linke Seite wir mit F(x) bezeichnen, nehmen wir ferner n Faktoren 1 + x, 2 + x, 3 + x,... n + x an und setzen wir voraus,
dafs die linke Seite durch das Produkt aller dieser Faktoren dividiert
werde, so erhält man zunächst den Quotienten 1 gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes; sodann kann man annehmen, dafs der
Rest in Partialbrüche zerlegt sei, so dafs die gegebene Gleichung die
Form erhält:
() (2) (3)...
1+ + x ~ 3 x3+x n+x '
in welcher (1), ),, (3)... Koefficienten sind, die sich in folgender
Weise bestimmen lassen:
Ist allgemein x -- k einer der Faktoren x + 1, x + 2,... x -- n,
und Q(x) das Produkt aller andern, so kann man setzen:
Fi(z) (k) ),
(x + k) Q(x) + k Q (x)
Hieraus folgt:
(k) )F(x) - (x + k) P-(X + ) Q (x)
- Q(x)