Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

394 Anhang.
Setzt man:
p g=X'~- + f'x'-2 -+ gx'-3 + xn-4- +...
Qx =C axi-k -1-+ b'vt,1 — 2 4+ C. - +n-k- -
so ist augenscheinlich:
' f + tr b' -- b 'r
h' = h -- r, c = c + 6b' r
u. S. w.
Wir erhalten daher die Gleichung:
x-1 + f.X, - --,.t- t -... 1 b':r' 'X' '1- '- 2 C - t
Dieselbe lalst sich auf die Form xn'1 ==- q —(x) bringeni, wenrn:an
eine neue gleichförmigr verlaufende Funktion (p (x) anlimmlt, die sich
folgendermafsen darstellt:
() -k- a':+x'n -k-,2 + x9',
(P1 (x) g
1 + - + c 3 +..+
Man mufs jedoch beachten, cla's, weil das Polynomi
"- 1 + /fx"-2 + gxn"-3 +-
notwendig alle Potenzen von x enithiält, die kleiner als die J - Ite
sind, zwischen iden letzten Gliedern dieses Polynoms und denen des
Polynoms a'x'-~l -+ — b'x — " 2 --... gYewisse Reduktionen ausgef'üllrt
werden müssen. Allgemein mufs man in dem Werte von q(l(x) das
Glied lIMx~-kl aus dem Zähler gegren dlas Glied Nx-k —^" aus dem
Nenner hleben und die Differenz, je nachdem sie positiv oder negativ
ist, oben oder unten hinsetzen, also (M - - N)xn-"-i in den Zähler
setzen, wenn M3> N, und (N- MI)x-l- in den Nenner, wenn
M < N ist.
Ist dieses atusgefilhrt, so hat man die Gleichtung xz-l- p, (x)
aufzulösen, dleren größ'ste Wurzel'7, wie mIatL weils, kleiner als r sein
mufs. Kennt mran diese zweite Wurzel r', so verfiährt mlan in derselben Weise, um die dritte r" und alle folgenden, wennr es deren
giebt, zu erhalten.
12.
Die Methode, die wir soeben angegeben haben, findet in
gleicher Weise auf die negattiven Wurzeln Anwendunlg;
mithin kann man durch sie alle reellen Wurzeln einer numerischen
Gleichung finden.