Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 393
Dasselbe Verfahren findet Anwendung auf den Fall, in welchem nach
der vorherigen Bestimnmung aller positiven Wurzeln r, r', r", r',..
die Ermittlung einer weiteren Wurzel zur Unmöglichkeit werden mufs.
10.
Methode, um die andern positiven Wurzeln derselben Gleichnng
zu ermitteln.
Nachdem die gröfste Wurzel r gefunden ist, suchen wir zunächst diejenige Wurzel, welche ihr an Gröfse am nächsten
kommt, und die wir mit r' bezeichnen.
Das einfachste Verfahren hierzu besteht darin, dafs man
auf die ursprünglichel Gleichung X = 0 zurückgeht und ihre linke
Seite durch x - r dividiert. Dadurch erhält man die Gleichung
n — tcn 1t~ Grades, welche die andern Wurzeln enth:ält. Unter diesen
Wurzeln ist diejenige, welche wir jetzt suchen, und die wir mit r'
bezeichnet haben, die gröfste.
Die neue aufzulösende Gleichung läfst sich auf die Form bringen
xn-1- = p(x), wo cp(x) eine gleichförmig verlaufende Funktion von
x ist. Man gelangt daher zur Auflösung miit Hülfe derselben Methode,
deren wir uns bei der Gleichung X'n - p(x) bedient haben, wenn
man dabei beachtet, dafs die Grenze der Wurzeln wegen r'< r bekannt ist.
Offenbar findet mlan, wenn man diese Rechnungen weiter fortsetzt, inach und nach die andern positiven Wurzeln ", r',...., falls
es deren giebt. Existiert die gesuchte Wurzel nichlt, so zeigt die
Rechnung, wie wir imn Artikel 9 bemerkt haben, von selbst die Unmöglichkeit an.
11.
Die Division der gegebenen Gleichung durch x-r läfst
sich iln folgender Weise ausführen:
Niimmit man denselben Wert von (p(x), wie in Artikel 7, so lautet
die gegebene Gleichung x - g(p(x), in der gewöhnlichen Weise ausgedrückt:
xn + f/Xn-1 _ + gn-2 +... axn~k + bxn-k - + CX —2 +..
Ist die linke Seite gleich P(x - r) p und die rechte gleich
Q(x - r) + q, wo p und q die Reste sind, welche bei der Division
der beiden Seiten durch x- r übrigbleiben, so mufs man, weil der
Wert x =r der Gleichung genügt, p == q haben, und somit ist die
Gleichung n - 1te Grades, welche noch zu lösen bleibt, P = Q.