Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

392 Anhang.
jedoch zwei aufeiinaluderfolgende Glieder nur noch wenig von einander
verschieden sind, mufs man von Schritt zu Schritt die Anzahl der
Decimalstellen vermehren, bis man zwei aufeinanderfolgende Glieder
erhlilt, die nur noch in der Deimalstelle von einander abweichen, die
man vernachlässigen will. UIm schneller zum Resultate zu gelangen,
kann man sich des folgenden Hülfsmittels bedienen.
Wir bezeichnen rmit a, c', ac die drei letzten Näherungswerte
von r, legen ferner durch die Punkte der Achse, welche diesen Abscissen entsprechen, Ordinaten p, p', welche bezüglich gleich sind
dlen Entfernungen zn', m'n", m"n", deren Werte c - q(), n- ~(a')
a' - ( (a") sind, und konstruieren eine parabolische Kurve, welche
durch die Endpunkte dieser Ordinaten geht. Ist y = A- B + CS 2
die Gleichung dieser Kurve, wobei die Abscisse z von demi Punkte
aus, für welchen x = a ist, gerechnet wird, so hat man zur Bestimmung Vonll AB, B die Gleiclhungen:
p =A
p"= A - - a') + C(a -
p' = A - B (a - a') ~+ (a - C ')
Setzt manl sodann y -. 0, so wird:
2A1
B + i /B -- 4AC'
woraus man die gesuchte Abscisse des Schnittpunktes r==c-z erhält.
9.
Sollte die gegebene (Gleichung keine positive Wurzel habenm, so
würde man:filden, dal's die Reihe a, a', V', ',... keine Grenze
hat, und dafs die (Glieder nach und nach abnehmen, bis sie gleich
Null werden. Daraus darf man jedoch nicht schliefsen, dafs die eine
Wurzel derselben gleich Null sei, da diese Wurzel stets ausgeschlossen ist.
Um die Rechnung abzukiirzen, kann man ferner vorher die untere
Grenze der positiven Wurzeln suchen. Dazu hat mIan x z — u
setzen. Hat mlan dann nach der Methode des Artikel 1 die obere
Grenze voln, welche A heifsen möge, gefunden, so folgt daraus, dafs
der kleinste Wert von x gröfser als - ist. Sobald daher die Reihe
ca, c, a,... bis zu einem Gliede, welches kleiner als T ist, hinabsteigt, so ist man sicher, dafs die gesuchte Wurzel nicht existiert.