Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

390 Anhang.
die Figuren (1) und (2) dargestellt sind. Wir werden dieselben unten
im Artikel 41 untersuchen.
7.
Methode zur Bestimmung der gröfsten positiven Wurzel einer
gegebenen Gleichung.
Umn jede unserni Gegenlstande nicht eigentümliche Schwierigkeit
zu beseitigen, setzen wir beständig voraus, dafs die gegebene
Gleichung keine gleichen Wurzeln habe, und dafs sie nicht
durch x teilbar sei. Alsdann bestimme man zuerst die obere
Grenze der positiven Wurzeln, so wie im Artikel 1 angegeben wurde.
Ist a diese Grenze, so ist also die gesuchte Wurzel x < a.
Bringt man alle negativen Glieder der gegebenen Gleichung auf
die rechte Seite, so nimmt diese Gleichung die folgende Form an:
x, (1 + + b.X- + Xx' nk- + x-2 +.
wobei alle Koefficienten positiv sind und zu beachten ist, dafs die
beiden Polynome nicht vollstäindig sein können, da sonst dieselbe
Potenz von x gleichzeitig auf beiden Seiten vorkommen würde.
Setzt mlan hierauf:
ax — + bxol,-k- + csn-k-2 +,(P() = -7-, —r --- - J
4f k, +g h
x x x2 x2+
so ist die Funktion (p(x) eine wachsende gleichförmig verlaufende
Funktion von x, und man hat die Gleichung aufzulösen xn - (gp(x).
Dazu nehmen wir an, dafs man über derselben Abscissenlinie
und nur auf der positiven Seite die beiden Kurven, deren Gleichungen
y -= X1 und y =-= cp(x) sind, konstruiere, und bezeichnen durch P
den Schnittpunkt beider Kurven, welcher der gröfsten Wurzel x r
entspricht (Fig. 3). Setzt man x - c in Sp(x), so erhält man eine
Ordinate p(a), die gröfser ist, als die Ordinate rn des Punktes P.
Denn da (p(x) eine wachsende gleichförmig verlaufende Funktion ist,
so miufs, wenn a>r ist, auch cp(a) > p (r) oder 9p(a)> rn sein.
Ist n der Punkt der Kurve y = p (x), welcher der Abscisse x a
entspricht, zieht man ferner durch den Punkt n eine Parallele zur
Abseissenachse, welche die Kurve y =- in mi trifft, und nennt mnan
die demi Punkte in entsprechende Abscisse o', so ist die Ordinate von
m1 gleich ac". Mithin hat man a' = (a), und daher a' — ( = ).