Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Naherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 387
A B C
Die dritte nimmt beständlig ab von p(0)=l- + -+ + - bis
a + b + b
zu 9 (oo) = 1o
Wenn man eine Kurve beschreibt, welche y=cp(x) zur Gleichung
hat, so wird diese Kurve beständig ansteigen oder absteigen von der
ersten Ordinate cp(0) an bis zur letzten 9p(cx), so dafs dieselbe Ordinate niemals zwei verschiedenen Abscissen entsprechen kann.
Ist daher c eine gegebene positive, zwischen p(0) und p(oo)
liegende, Zahl, so hat die Gleichung c p(x) stets eine positive
Wurzel, aber nur eine solche.
Wäre c nicht zwischen den Grenzen cp(0) und p(oo) enthalten,
so wüirde die Gleichung c = p(x) keine positive Wurzel hafben.
4.
Auflösung der Gleichung c - ((x), in welcher p (x) eine
gleichförmig verlaufende Funktion ist.
Wir denken uns die Kurve, deren Gleichung y =D- (x) ist, gezeichnet, und setzen zunächst voraus, dafs die Funktion 9p(x)
beständig wachse, und dafs zugleich die Kurve gegen die
Abscissenachse konkav sei.
Es sei (Fig. 1) A der erste Punkt der Kurve, für welchen x =0,
B
Cki Jc __ '_4 x
0o X
Fig. 1.
y = (0) ist. In der Entfernung c von der Achse der x ziehen wir
parallel zu dieser Achse die Gerade CM, welche die Verlängerung
der durch Punkt A gehenden Ordinate in C und die Kurve AM in
M trifft. Es soll die Abscisse des Punktes M, welche der Wert der
gesuchten Wurzel ist, bestimmt werden.
Dazu ziehen wir in A die Tangente Ak, welche die Gerade CM
in k trifft, und nennen k die Abscisse des Punktes k. Setzen wir
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