Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

26 VeVierter Hauptteil.
1. ' 3. 5...(22 —~ 3)
2.4- 6 - 8...
Da alle Glieder des Nenners dieser Grölse gerade sind, so erhält man
wenn man beiderseits mit 2' mnultipliciert:
29 n _ 1.1.3.5...(2 n-3)
1 2 3 4...
Multipliciert man noch beide Seiten mit 2 4 6 (2n - 4), so ist
das Produkt:
1.23.... (2rn - 3)
2"N(2.4' 6 [2n- 4]) — 6 2..- 4. 2
Offenbar reduciert sich die rechte Seite auf (n +- 1) ( + - 2)- (2n - 3)
die linke auf 22sn-2N(1. 2.3 - 21); mithin hat man:
22n,-2N _ (n4 - 1)(n + -2) * (2n - 3)
i. 2 3.. (n - 2)
Multipliciert man beide Seiten nach einander mit n und 2n - 2
so wird:
n(n 4- I)(n 4- 2) _ (2n - 3)
n1 - ~ 2. 3 ~ ~. ( - 2)
__ (n- lWn+2 )_.- ~ - (~'1 --- ( -)
2:"t-2(2 L --- 2) lN= - l 1.2.3... (Ilt - 2)
Diese beiden Gröfsen lmüssen aber ganze Zahlen sein, d(a bekanntlich der Bionmialformel zufolge allgemein die Grölse
c.(c + 1) (c + 2).. (c + -- 1)
1. 2 ~3...... m
eine ganze Zahl ist. Setzt man also:
2' n-2 nN-, 22n -2(2n- 2) N — E',
so erhalt man:
2 -1
Hieraus ersieht mlan, dafs der Koefficient N des Gliedes Nvz zumL
Neinner nur die Potenz 22n-1 oder, falls n eine ungerade Zahl ist,
eine niedrigere Potenz von 2 haben kalnn.
Um diesen Nenner in allen Fällen zu bestimmen, Imuts man zu
der ersten Formel
N 1. 3 5. (2 n - 3)
2.4.6.8.. 2n
zurtickkehren. Man sieht, dafs in dein reducierten Werte von N der
Nenner nichts anderes ist, als die gröfste Potenz von 2, welche in
deni Produkte 2 4.6 2n oder, was auf dasselbe hinauskommt,
in dem Produkte 1 2 * 3 2n aufgeht. Wir haben aber früher