Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 385
1) Wenn das zweite Glied einen negativen Koefficienten
hat, und keiner der andern negativen Koefficienten gröfser
ist als dieser, so behaupte ich, dafs dieser um eine Einheit
vermehrte Koefficient gröfser ist als die gröfste positive
Wurzel.
Wenn nämlich ein positiver Wert von x gröfser sein könnte als
1-+A1, so würde dies in dem Falle stattfinden, wo alle Koefficienten
negativ und gleich A1 wären, so dafs die aufzulösende Gleichung
sein würde:
xn- Ax'1n-1- AlX71-2 - A xn-3 —... A - 0.
Setzt man aber in eben diesem Falle x = - A1, so hat man:
xn - A1 n-1 Xn-1
xn-1 _ Xn-2 = xn-2
U. S. W.,
so dafs sich die linke Seite auf + 1 reduciert. Mithin ist stets
x < 1 + A1.
2) Ist der gröfste negative Koefficient nicht der des
zweiten Gliedes, so seien Ai und Ak die beiden negativen
Koefficienten, für welche Ai und i/AK möglichst grofs sind.
Alsdann behaupte ich, dafs stets x < Ai + /A ist.
Es sei nämlich a die gröfsere von diesen beiden Wurzelgröfsen
und b die andere. Dann giebt es der Voraussetzung nach nur ein
einziges negatives Glied der Gleichung, welches durch - aixn- dargestellt wird. Alle andern, die man allgemein durch - crxn-" darstellen kann, sind so beschaffen, dafs wenigstens für eines dieser
Glieder c = b, für alle andern aber c <b ist. Mithin wird unter der
Annahme, dafs die Gleichung
xn b bxn-1 _ n-2 - x -.... n b}
- (ar - 1)r')xn-2r
aufzulösen wäre, x am gröfsten werden. Die linke Seite reduciert
sich auf:
Xn - bn
xn xn-r(a, - b) -_ x-b
und setzt man x = a + b, so geht dieselbe über in:
bl+'t a -- b arr b
a + - (a + b)1<-r La +b)r a a- i
Diese Gröfse ist immer positiv, da a> b angenommen und allgemein
Legendre, Zahlentheorie II. 25