Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

380 Sechster IHauptteil.
Diese Gleichung 9t"1I Grades hätte man also unmittelbar aufzulösen,
wenn man den Kreisumifang in 19 gleiche Teile teilen wollte. Wir
haben aber oben die Hiilfsmittel kennen gelernt, um die Aufgabe auf
die Auflösung zweier Gleichungen dritten Grades zu reducieren.
Übrigens ergiebt diese Gleichung zwischen ihren Wurzeln analoge
Beziehungen wie diejenigen, die wir bei den andern Beispielen gehabt haben; indessen werden dieselben inmmier weniger interessant,
je gröfser die Zahl n wird.
Die Eigenschaften der Funktion, welche gleich sin~ p ist, haben
SiH 99
wir hinreichend entwickelt; wir könnten iin ähnlicher Weise auch
die Eigenschaften der Funktion, welche gleich c-Os - ist, entwickeln.
b / ü cos rp
Da jedoch letztere aus der ersteren hervorgeht, indem man einfach
- an die Stelle voin cp setzt, so haben wir es nicht für nötig
gehalten, auf die neuen hierauf bezüglichen Einzelheiten noch genauer
einzugehen.
~ 6.
Neuer Beweis des Reciprocitätsgesetzes, welches zwischen zwei
Primzahlen besteht.
679.
Ist p oder 2mj + 1 eine beliebige Primzahl aufser 2, und g eine
von den zu dieser Zahl gelhörigen primitiven Wurzeln, so dafs
ge + I = ä(fp)
ist, so können, wie wir in Artikel 509 gesehen haben, die 2mv Wurzeln der Gleichung X = 0, wo X x_ ist, dargestellt werden
durch die Reihe:
(1), (g), (g), (g3), (2 " -:1).
In derselben ist jedes Glied (a) der Ausdruck von r", wo r eine beliebige imaginäre Wurzel der Gleichung xP - 1 = 0 ist.
Ist y die Summe der Glieder von ungerader Ordnugungnd z die
SummlL e der Gliecer von gerader Ordnung, so dafs man hat:
y = (1) + (g) + (g) + (s) +. + (/"-2)
Z = () + (.s) + (s1) + (y7) +. + (<2 n-1),
so haben wir in dem angeführten Artikel zur Bestimmung von y
und z zwei Formeln gefunden, von denen die eine voraussetzt, dafs