Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Einige Sätze aus der Analysis nebst neuen Formeln f. d, Winkelteilung. 379
Mithin:
A = -/ [cos 7 p - cos 3 p + cos <p]
-- 2 sin 99 + sil 7 4 sin 5cp + 3 sin 38p + 5 sin (p
B' = /'n [cos 7(p - cos 39 + cosjp
-2 sin 99 - sin 7 p + 4 sin 5p - 3 sin 39 - 5 sin gp
sin n - = A B sin 9p.
Mat hat aber auch unter anderer Form:ll
sin, -l sinn = ( U/n + V) (U /nV - V)
U -(u2 + 1) F(7) - (u2 + 1)3'F(3) + (u2 + 1)' F(1)
V = 2G(9) + (12 + 1) G(7) - 4(t2 + 1)2 G(5) + 3(Qt2 + 1)3G(3)
+- 5(u+ 1)4 G(1),
oder wenn nian für die F und G ihre Werte setzt:
U- t- - 16u7 + 26u5 + 40us3 - 3
V= nu8 - 8nu G +- 18nu4 - 1.
Man kennt daher die beiden Faktoren Ul/n 4- V, U1/n - V, deren
Produkt gleich lsin n oder gleich der Funktion
(sin cp)f
G(n) = nust -_ 511nul 4 + 612nlt14 - 2652nu12 + 4862nu'1
- 3978 nu8 + 1428nu6 - 204nu'4 + 9nu2 - 1
ist, als Funktionen von u. In diesem Falle kann man g 2 annehmen, wodurch sich die neun Wurzeln der Gleichung 0-= UVn -+ V
ergeben, nämlich:
7 4 5 n 67r 77r 9 7
it =- cot -, ot, cot, cot, cot, cot
qn 7 5 rn n n n n Y;,~2, 2 K n, T,, 187r
2n 3fr 8n
cot - cot - cotfl2 n, }
Von diesen sind sechs positiv und drei negativ. Aus diesem Grunde
mufs das letzte Glied der Gleichung positiv sein; diese Gleichung ist
daher U/n - V = 0 oder:
0 - n(z9 - 16 i7 + 26u5 +- 40u3 - 3u) - n (t8 -- 8s 6 + 18 u4) + 1.
1
Die rechte Seite ist das Produkt aus n,2 und den neun Faktoren:
(i6 cot -) (- - cot ) (Ct - cot - (z -- cot cot ) X
/ \ (L - \t / \c n) ( + cot
(u - cot t- u - - cot -} (- 4- -Oi ) ( 4~ c0 -^r) *
\u w/\1 n l 7\ ' r n\ ' n