Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

378 Sechster Hauptteil.
] — 0, N = 0 die fünif Wurzeln u =- cot - - cot -7 cot 7
' ^; n / n '
cot, cot 3 von denen vier positiv sind und eine negativ. Nun
zeigt aber die Aufeinanderfolge der Zeichen in der Gleichung N- 0
an, dafs sich die in Rede stehende Eigenschaft auf diese Gleichung
bezieht. Mithin hat man allgemein:
N = (u - cot-) ( - cot 4) (u_ - cot -) (u + cot ) ( - _ot -)
Zn / \ n / \ nl\ t n 7\n
1i= n(" + cot (' ( + ccot ) + ot - cot ) I + cot )
Um daher den Kreisumfang in 11 gleiche Teile zu teilein, hat man
die Gleichung aufzulösen:
t 1 1
0 = 2 u5 -- nu 4 2n,2 Z6 212 -- 3n2 4- 1,
~7v1: 3g. 4,r 5
deren Wurzeln -- cot - cot:, cot, cot,
n n n
--- cot -2 sind. Hieraus ergeben sich die folgenden Eigenschaften:
1
a 7t., 37T 4 57t 2 1
cot -- cot cot + cot - cot 11, 7r 3 7 47 59 2) Z
cots - + cot2 - + cot2- t + c cott ot 15
3
t 3 73 4 7 5 2+
cot3- + ot + cot- + cot cot - c ot -- ot 11~
cot' -^ + ~cot4 4 + coft '4- + cot5 4r + cot.4 _ = 141
7r 2zr 3r 47 5r 2
cot- cot cot - cot - cot -- 1
Übrigens würde man die Summe der geraden Potenzen einfacher aus
der Gleichung G(z)==0 erhalten, welche in diesem Falle lautet:
0 = g 1u - 15t8 + 426 - 304 +- 5mt2 -
Dieselbe giebt unmittelbar:
Et-2 - 15, E t4= 141, Etu — 1575, u. s. w.
678.
Drittes Beispiel.
Ist n=19 oder = —4, so erhält man aus der Tabelle in No. 512:
a = - 4, a = 3, a4 = 5; b =-0 b3 -— = -, b = 1.