Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Einige Sätze aus der Analysis nebst neuen Formeln f. d. Winkelteilung. 377
Dieselben entstehen aus einander, indem man einfach das Zeichen
von ßu ändert.
Die Teilung des Kreisumfanges in 7 gleiche Teile geschieht also
mit Hülfe der Gleichung dritten Grades:
1 1
0 = 7213 - 7t + 72 + 1,
3,1
deren Wurzeln u -- cot, tu cot -, u -- cot - sind. Hier7' 7 7
aus ergeben sich die folgenden Eigenschaften:
cot -+ cot 7- Ct o 7
cot2 -7- c+ ot1 — + cot2 7
7 7 7, 7t 2 7 3n 2
cot{cot 7 cot 7 cot
7 7 7
Dies läfst sich leicht mittelst der Trigonometrie bestätigen.
677.
Zweites Beispiel.
Ist n-==11 oder m —2, so erhält man aus der Tabelle in No. 512:
a= - -2, b2 - 0,
also:
U= (i2 + 1) F(3) = - 23- 3 -= — 2G(5) + (2+1) G(3)-2(u2+l1)2 G(l) == zt4 - 2n2 -1
sin 11 p- = sin'gp (U7l/n + V) (U/ - V).
Es ist aber auch:
sin 11 = sinll". G((n),
wenn man mit G(n) das Polynom
iznut - 15nu t + 42nt- - 30nu 4 +- 5nu'2- 1
bezeichnet. Mithin ist dieses Polynom das Produkt der beiden Faktoren:
I 1 1
1 n t 2 tt5 + n t4 - 22 q3 - 2t62 - 3n 2 t -
1 1
N -- 2 u2 nu4 -2 2n 2u + 2nt2 - 3n 2- +,
woraus sich sin 11 p == sinl1 p M N ergiebt.
In diesem Falle kann man die primitive Wurzel g=-2 nehmen, da
dieser Wert g5+ 1 ==Jt(1l) giebt. Mithin hat die eine der Gleichungen