Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Auflösung der Gleichung x]2 + a = 2my. 25
~ 3.
Auflösung der Gleichung x2 + a 2my.
355.
Wir haben bereits in No. 191 gesehen, dafs, wenn man die einfachsten Fälle, in denen m nicht gröfser als 2 ist, ausscheidet, diese
Gleichung für jeden Wert von m auflösbar ist, falls a die Form
- I + 8a besitzt. Ein Verfahren, zur allgemeinen Auflösung
dieser Gleichung zu gelangen, besteht in Folgendem.
Wir betrachten zunächst die bekannte Reihe:
\i i. z~ +) 1 1.3 1. 1.3.
(1 + )-)2- 1 + ~ -2- -. - ----— 2 4 6 '+
2 2' 4 + 2.4.6 2.4.6.8
und bemerken, dafs die Koefficienten derselben, wenn sie auf ihren
einfachsten Ausdruck gebracht werden, die folgenden sind:
1 1 1 5 7 21 33
2 3 2 2 7 228 210 11 *
so dafs also ihre Nenner nichts anderes sind als.Potenzen von 2,
deren Exponenten nach einem bestimmten Gesetze zunehmen. Un
diese Eigenschaft zu begründen, kann man setzen:
i
(1 + z)2 = l +.z + + Bz + CZ+ +..
Erhebt man sodann beide Seiten ins Quadrat, so erhält man zur Bestimmung der Koefficienten A, B, C,... die Gleichungen:
2A= — 1
2B = - A2
2C -- 2AB
2D —2AC- B2
U. S. W.
Hieraus erkennt man, dafs sich jeder Koefficient mit Hülfe der
vorhergehenden bestimmt, ohne dafs ein anderer Nenner als 2 aufträte. Es miufs demnach jeder Koefficient von der Form -i sein,
wo M eine ganze Zahl ist.
356.
Um jedoch das Gesetz dieser Koefficienten noch besser hervortreten zu lassen, und um zugleich den Exponenten der Potenz von
2, welche den Nenner derselben bildet, zu bestimmen, nehmen wir
den allgemeinen Ausdruck des Koefficienten von zn, welcher ist: