Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Einige Satze aus der Analysis nebst neuen Formeln f. d. Winkelteilung. 375
U= (u +- 1) F(2n -- 1) + b2 (tu + 1)2 Fi(2 m - 3)
+ b3 (t2 -+ 1)3 F(2mn -5) +
V 2G (22m+ 1)+(Q2+ 1) G(2in — 1)+ C2(2+ 1)2G(2m- 3)+ *,
wo die erste eine ungerade Funktion von u vom Grade -(n - 1)
oder 2mn + 1 mit dem ersten Gliede u2s"+l, die zweite eine gerade
Funktion vom Grade 2m ist, so hat man die Werte:
A = sin2 +l1q ( Un ) +-V)
B - sin2n+l (U l/n — V).
Nach Artikel 669 ist aber der Wert von AB gleich dem Produkte aus sini"-'p oder sin4-m+I2Cp und dem Polynom:
G ( )) - tn-__ n,(,n —1) (n-2) (n-1)(-2)(-3)(n-4).
L.2.3 +.2.3.4.5
Mithin läfst sich dieses Polynom in uy vom Grade n - 1 allgemein in
zwei Faktoren Uln + V, U/n - V zerlegen, von denen der eine
durch das Produkt:
2 - cot -) t - ct ) ( - cot u -- cot
U2. - ci ot
der andere durch das Produkt:
(2 + cot ( + cot -) (u + cot (u + Cot i
\n n \ n 9 n
dargestellt wird.
Will man den Kreisumfang in n Teile teilen, so hat man die
Gleichung 2m q-+ 1t Grades U V/n + V- 0 aufzulösen, deren Wurzeln, falls man das doppelte Zeichen passend bestimmt, dargestellt
werden durch:
t == cot- cot cot.. cot ---
l, n n n
Dieselbe Aufgabe könnte man direkt mittelst der Gleichung G(z) - 0
lösen, welche, wenn z-2 = v gesetzt wird, übergeht in:
0 -2?2.- -1)2) 1( —v12-)( )(n -4) 2) I-1X ). -
1.2.3 1.2.3.4.5
Diese ist also ebenfalls vom Grade 2m + 1; indessen ist die Gleichung in u einfacher, und ihre Wurzeln, die von vornherein bekannt
sind, ergeben neue Eigenschaften, wie man bei den folgenden Beispielen sehen wird.