Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

374 Sechster Hauptteil.
ist, so folgt daraus, dafs der Wert von Q auch folgendermafsen dargestellt werden kann:
Q(=B(siing)2m+1( ut +t)^+c )( cot ) cot (-t+cot, " n),
d. h. die Wurzeln der Gleichung Q 0 sind nur durch das Vorzeichen
von den Wurzeln der Gleichung P = 0 verschieden, oder eine dieser
Gleichungen entsteht aus der andern durch blofse Anderung des
Zeichens von u.
Dies sind die beiden Faktoren, deren Produkt PQ = X ist. Da
im Falle p = 0, wodurch sich x == und y = 1 ergiebt, X n
sein mufs, so hat man a:ß = n und kann daher a - = n2 setzen.
Dies könnte man auch aus den Werten von A und B ableiten. Denn
setzt man g-=0, so wird A == B === Z /n, wo Z~ der Wert von
Z für den Fall -p = 0 ist. In demselben Falle ist aber X = n,
Y 0 und die Gleichung 4X = Ys + nZ2 giebt Z~ =2, mithin
A =B = /n.
675.
Die für P und Q gefundenen Werte stellen die Werte der Funktionen A und B dar, die wir in linearer Weise durch die Sinus und
Cosinus der ungeraden Vielfachen des Winkels qc dargestellt haben.
Jedoch kann man nur in speciellen Fallen entscheiden, welcher von
dieseni beiden Werten für A und welcher für B genommen werden
inufs. Dies ist stets leicht, wenn man denjenigen der Werte von A
und B gleich P setzt, dessen letztes Glied dasselbe Vorzeichen wie, nCTgy2 i t 4 1
- cot -cot * ' cot -g
n n n
hat.
Es sei allgemein:
(U + /2) i) (a) + /- G1 (a),
also:. ) -- aa(a — 1) %(,o-2- + a(a- 1) (a- 2) (a - 3)
) —T 2 —,t-t -....
1.2.3.4
G(a) = au- a(a - 1)(-) a - 3 a(a — 1)(a- 2) (a- 3)(a —4)
1.2.3 1.2.3.4.5
Bestimmt man mittelst der Funktionen F(a) und G(a) neue
Funktionen U und V durch die Gleichungen: