Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

368 Sechster Hauptteil.
2gk
ist, zu jedem Werte von 2a =, worin kc kleiner als 2mn ist,
in derselben Gruppe ein Wert 2g- = -- 2~ vor, so dafs man
gleichzeitig die beiden einfachen Faktoren hat:
x - y (cos 2a + V-1 sin 2~)
x - y (cos 2a - /-1 sin 2 a).
Aus diesen entsteht der reelle Faktor zweiten Grades:
x2 + y2 - 2xy cos 2a.
Setzt man hierin die Werte
x =cos p+ -- -1 sin 9g, y = cos g - ]/-1 sin g
ein, so geht dieser Faktor über in:
2 cos 2cp - 2 cos 2a.
Macht man daher 2 cos 2p = t, so wird einer der beiden Faktoren
A und B dargestellt durch das Produkt von mn einfachen Faktoren:
(2 2g 9
(t- 2c os- cos —) 2g2 t 2os )*(t-2cos... t 2cos),
und der andere durch das Produkt:
2g7 2Y2i7r)
(t- 2cos (t-2cos g )(t- 2cos g... ) t — 2-cos
\n n n n
Diese Formen stimmen mit den oben gefundenen Werten von A und B
vollkommen überein; denn setzt man fir cos 49p, cos Gp,... ihre
bekannten Werte als Funktionen von cos 2 p = t ein, so reduciert
sich der Wert von A auf die Form:
A =- tn + ma-1 + ßm-2.,
deren Koefficienten keine andere Irrationalität enthalten als }/n.
Ebenso verhält es sich mit dem Werte von B.
Da die Gleichungen A= 0 und ] == 0 lauter reelle Wurzeln
haben, welche in den beiden Reihen
1 27r 2g2r 2g4r 2g2t-2
t cos -- cos cos * * cos -
2 n n 2 n 2
1. 2g 29g3 2g5_ 2g_2m-1Z
t- cos In,cos, cos,* ~ cos
2 f - n fn
enthalten sind, so kennt man für jede Reihe die Summe gleich hoher
Potenzen der verschiedenen Glieder, aus denen sie besteht. Diese
Summe wird ausgedrückt durch die Koefficienten der zugehörigen