Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

24 Vierter Hauptteil.
Setzt man drittens
" = ' +- A'a2, x " + Aa4,
und bestimmt man A" und M"' durch die Gleichung
M" + ne"- A"-Ä =- a4 M'",
so ist das Binom xn - b teilbar durch a8.
In dieser Weise fährt man fort, bis x- b teilbar ist durch aa;
und wenn a kein Glied der Reihe 2, 4, 8, 16,... wäre, so sieht man
leicht, welche Änderung man bei der letzten der unbestimmten Gleichungen vorzunehmen hätte. Ist z. B. a =-7, so nehme man statt
der dritten Gleichung M" + ng"n-1 A"== a4M"' die folgende:
M" + n'",n-2 A" a3"M;
alsdann wird x - b für den Wert x = + A"a4c durch a7 teilbar sein.
Anmerkungg. ist der Exponent n teilbar durch a, so kann es
vorkommen, dafs irgend eine der Gleichungen, welche zur Bestimmung von A, A', A",.. dienen, unmöglich wird. Dies wäre alsdann
ein Beweis dafür, dafs xn - b nicht durch aa teilbar sein kann.
354.
Soll jetzt xn - B durch irgend eine zusammengesetzte
Zahl A = a"blc7Y..., in welcher ac, b;, cy,... die auf irgend welche
Potenzen erhobenen Primfaktoren sind, teilbar sein, so mufs man
nach dem Vorhergehenden die Zahleu A, xu, v,... so bestimmen, dafs
die Gröfsen
n -B,n-B ^n -B
gne bZahe wer, u so n ie Gichngen
ganze Zahlen werden, und sodann die Gleichungen
x = +[ -A- ~az + -(- + ' == v -+ cy'z
mit einander kombinieren. Auf diese Weise erhält ima alle Werte
1
von x, welche kleiner als - A sind, und für welche x - B durch A
teilbar wird, oder alle Werte, welche allgemein der Gleichung
x" - B = Ay genügen.
Wäre die Gleichung Cx" - B= -Ay aufzulösen, so kann man
annehmen, dafs C und A keinen gemeinschaftlichen Teiler haben
(denn hätten sie einen solchen, so könnte man ihn durch Division
wegschaffen). Ist daher Cg - Av = 1, und setzt man y' = gy - vx,
so geht die aufzulösende Gleichung über in x - B- =- Ay'. Dieselbe ist somit auf den bereits behandelten Fall zurückgeführt.