Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

366 Sechster haluptteil.
so hat lman:
cos ~p
COS qp
so dafs also uind D dlie beiden Faktoren sind, deren Prodluklt gleich
ist dem Polynom:
7i (n --— 1.).
COs' -9 (.... 23 ) coS^' sin2
+ n (n — l) (. -2)(n-3) cos- sin4 -
-.3.4- 7. c~s-Z-5sP sin4p -.....
670.
Setzt iman sl.. =. 0 oder AB.0, so sind die Werte, welche
sin
dieser Gleichung geniigen, allgemein dargestellt durch cl =- ' -, wo
k eine beliebige, durch n nicht teilbare ganze Zahl bedeutet. Dennu
fiir diesen Wert wird sin m —=0, ohne dafs zu gleicher Zeit sin p —=0
wäile. Ist cot (p = z, so geht die Gleichung AB =) iiber in:
0 — ' n(n- 1) (n-2) -
1. 2.3
n(n- ) (n2- 2) (n ---3)(-4)... i*r. 2I. 5
undi die n. — 1 Wurzeln dieser Gleichung sind:
n,2n 37c: 2?i 7
z- A=-+- ( - - cot, c ot * o
-- - \?, n, jo 7,. col;
Es hand(elt sich jetzt darum zu zeigen, wie sich diese n -1 Wurzeln
auf die beiden Gleichungen A= 0, B = 0 verteilen.
Dazu müssen wir zurücklgehen auf den Wert:
Xnn
x -y - Y "-.x
AB = J -x-+ y + x"' -2 + + y* —.l
Nun weifs man aber, dafs dieses Polynoni vom (Grlade n - 1
oder 4,ml das Produkt der 4m Faktoren ist:
(x - ry) (x -- r'y) (x - r3,y).* (x - i4 'iy),
in denen man r-= cos -- + -1 sin 2 setzen kann, und bezeichnet man m1it y eine der priumitiven Wurzeln von n, so lassen
sich dieselben. Faktoren in der folgenden Rleihenlfolgo schreiben: