Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Einige Sätze aus der Analysis nebst neuen Formeln f. d. Winkelteilung. 365
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und die Werte voni - Y und - Z sind:
Y ==2 cos 2rny + cos(2m-2)qp + a2cos(2m-4)(p+aß3cos(2nm-6)9
+.. +a4
- Z== cos (2n - 2)c + b.2cos(2m-4)cp + b3 cos(2m-6)q
+ b4cos(2f-n 8) +9+ + b-m.
Setzt man also:
1 1 ZY- B Y
A= -Y+ zyn, 2 1 - Zy
mithin:
A = 2cos 2m pj+ (1 + j/ ) cos (2m-2)9 + (a2, b2 }/) cos(2 m - 4)99
+ ( + y b n) os (2 m - 6)9p +''-+ (an + bm yn-)
B= = 2cos 2mq + (1 - /17) cos(2nm —2)qi+(a2-b2 i/i) cos(2mn - 4)cp
+ (a3- b3}/n) cos(2 m-6)qp+..+{(am- bm}/n)
so erhält man allgemein:
sin 1n f( -AB
sin 99
so dafs A und B die beiden Faktoren sind, deren Produkt gleich
ist dem Polynom:
n cos7"-1-19 - lz(- -— cos"0-3 99 sin2 9p
fl QI~9 1.2.3,n(n-1)(n-2)(n-3)(rn-4) Co-5
+ 1.2n3.45
Diese Eigenschaft ist um so bemerkenswerter, da sie nicht stattfinden würde, wenn die Zahl n von der Form 4m + 1 keine Primzahl wäre.
Uni in ähnlicher Weise den Wert von zu erhalten,
cos qJ
brauchen wir nur in den vorstehenden Formeln - - an die Stelle
von cp zu setzen. Ist also:
C==2cos2rn9p-(l+1/n)cos(2m-2)99+(a2+b2}Vn)cos(2m-4)99
-(ag3+b,3V)cos(2m-6)w+...+ 4 -(am+b7y/)(-1)m
D==2cos2mp- (1- n) cos(2m-2)99+(a2-b / )cos (2m -4)99
-- (a3 - b/i) cos (2 n- 6)99+ +..+ (a