Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

364 Sechster Hauptteil.
sin cos n (-l _()(n- ) (n 2
sih npcos - 1.2.3. cosn- 3 sm
n (n- ) (n-2)(n-3)(n-4) n
1 -.2.3.4.5 cos-5p sin 4p -....
cos n(p - (n-1) cos
"cos^p === cos n" ^ ~ 1.2 o s -3
+ n(n-1)(n-2)(n-3) COSn-59 Sin4 - *
I -~2~ ~34O- - cs-5p sinm -.....
Wenn nun n irgend eine Primzahl ist, so lassen sich die
Polynome, welche die rechten Seiten dieser Gleichungen bilden, stets
in zwei Faktoren zerlegen, deren Koefficienten keine andere Irrationalität als }/n enthalten. Und da diese beiden Formeln aus einander
entstehen, indem man einfach - - -p an die Stelle von (p setzt, so
braucht man nur zu zeigen, wie die Zerlegung der erstell bewerkstelligt wird. Zu diesem Zwecke müssen wir jedoch zwei Fälle
unterscheiden, je nachdem die Primzahl n von der Form 4m + 1
oder von der Form 4m + 3 ist.
669.
Erster Fall: n == 4m + 1.
Wir haben gezeigt, dafs sich für die Primzahlen von dieser
xn-_Y' 1 y
Form die Funktion X= - y stets auf die Form -(Y2 -nZ2)
x-y 4
1 1
bringen läfst, welche aus zwei reellen Faktoren - Y +- 2 Z /
und - Y- Z /n zusammengesetzt ist. Dabei ist:
y | 2 x2m +x2sm-ly+ ax2n-2y2 + a3x2m-3 y3 +
+ 2y2s +Xy2?-1 +ax2 y2 n2 7-2 +a33y2 m-3 +.. j a
2m-1 y + b2 x2m-2 y2 + b3 x2m-3y3 + }..+ b'y
Z xy2m-1 + b2x2y2m-2 + b3X3y2s-3 -+. b
Wir haben ferner die Hülfsmittel angegeben, vermöge deren man
in allen Fällen die Koefficienten a,,....am, b2, b3,... b bestimmen kann..
Ist nun x = cos p + /- 1 sin p, y = cos T - V- 1 sin (, so
hat man:
Xn - y n sin n p
x-y sin p q