Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

3(62 Sechster Hauptteil.
p '~ +p.
p+q
Wegen dieser Form kann man 4P = X2 + YI2 setzen, wenn man
__ J 2^292'+p p21^ 4+ ((2p21>-1q2 - a3p2112 q +, * -.
+ 2q2l+ -1 (qi 4- a2 q2l-1 - a p~q21-' +..
Jy p2Iq - b 1p2/t-1q2 + b3p2't-2q3 -...
-- P2"l + b2pq21 -1 - q2b3 71p i +..
annimmt. Da nun die Gröfsen pq und 1c p4+ q reell und rational
sind, so ist es die Gröfse X ebenfalls. Was den Wert von Y anlangt, so ist derselbe gleich dem Produkte von p - q und dem
Polynom:
2 qm — 2 1n- -1 ) 23 2 3 q- 2 -5
Z== pq. -— q -.. - - 5____' +. —
p-q p-q p —q
Der Wert desselben ist, wie der von X, reell lund rational. Wegen
p - q -2g/- n hat man also: 4P = - 41'n2g.Z/. Mithin ist
P gleich dem Produkte aus den beiden Polynomen - X+ ng Z und
-,-X-nyZ. Die letzteren sind die Werte von A1 undl B.
In ähnlicher Weise hat man:
n p- q
Man kann daher 4nQ X'2 - --- Y'2 setzen, und zwar ist dabei:
X, 2p?2+' + p ). L + a,2p^-' q2+ C6 a)2"1- '2q~ -
_ 2 q2P2m+i _ pqq2 + q -/'- - ap l -
1f 2 q 2 4-+ bp2 "- + -,p — 2pt -2 +..
[+ pq2rn + b2pq2"' —' + b3p3q"'-2+..
Der Wert von Y' reduciert sich auf eine reelle und rationale
Gröfse. Was den Wert der Funktion X' angeht, so ist derselbe
gleich dem Produkt aus p -q oder 2g/ — n und dem Polynom:
2' 1l 2 +l1 2 im-1 2- a q2 m-3. 2 -3
2 - — 2 ------- }.p - ---- -+ a3p2 L-q-.ll7A —
p — q J p- l -q p-q
dessen Wert reell und rational ist. Mithiln hat man X' == 2gZ' V/-.und 4Q- Y'2 492 '2. Folglich läfst sich Q in die beiden ratio1 1
nalen Fiaktoren - Y'+-yZ' und 2 Y' -- Z', welches die Werte von
C und D sind, zerlegen.