Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Einige Sätzc aus der Analysis nebst neuen Formeln f. d. Winkelteilung. 361
Analog hat man:
Q=-. p_ q-.
n p -
Setzt man aber:
pn - = (p - q)H,
so giebt der Satz 1. ebenfalls:
4H=-4nQ = X'2 - nY'2
und zwar ist:
X- 2P' 2-+p2mlqap —q a2- q2 — a3p2m- 6 '2n-3.3
+ 2q2m +- 2T"-l + a2p2 q2 ">-2 a3p3q2mn-3 + a-Pq..)I
Y' _ p2m- q b+ P2m-2 q2 b3p23rq-3 3 +. b(".
{ -pq2m-x1 b2p2qm- - b3p2m-3 +...J
Diese Werte verwandeln sich ebenso in rationale Polynome von
f und g. Der Gleichung 4nQ = X'2 - n Y'2 zufolge mufs aber X'
durch n teilbar sein; setzt man also X'=nZ', so wird 4Q=nZ'2- y'2.
Da endlich n eine Primzahl von der Form 4m + 1 ist, so läfst sich
die Funktion Q immer auf die Form C2 -nD2 bringen. Man
braucht dazu nur
C+ D1/n-=( Y'~+ 2Z' /n)(t -u/)
zu setzen, wo t und zt die kleinsten Zahlen sind, die der Gleichung
t2 - nu2 = - 1 genügen.
666.
Satz 3. Ist n eine Primzahl von der Form 4m + 3 und
setzt man: (ft+ g / ) =) F +- G V zn, ferner F= fP,
G - ngQ und daher:
P n —1 n(n-1) /n —3. 2, + n(n - 1) (n-2)(n-3) f_5. n2..
fn-I f2 n 2.3.4 ng
2 3n - f3-+ ()(n-2)fn_3-g(n)(n-2)(n- 3)(n-4)]n-5.
9 - (n-.)(n-2) 3.4.5
so lassen sich die Polynome P und Q in zwei rationale
Faktoren zerlegen, so dafs man erhält:
P-= AB, Q- CD,
wo A, B, C, D Polynome von fund g vom Grade }(n-1) sind.
Ist nämlich:
p=f' +g/- n, q- f -g}/-n,
so erhält man: