Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

360 Sechster Hauptteil.
in beiden Fällen bestimmt, und obwohl die Formeln, die wir im
Sinne haben, für y = gelten, so können sie doch leicht auf einen
beliebigen Wert von y angewendet werden, wenn man das Gesetz
der Homogeneität beachtet.
665.
Satz 2. Ist n eine Primzahl von der Form 4m -+ 1, und
setzt man: (f+ g Vn)n = F + GV/n, ferner F== 'P, G = ngQ
und daher:
p) fn_ + l (n -) n-3.2 + n(n-?-)(n -2)(n-3) fn-5.n2q4+...
--— 2 1 - Y:2' 1.2.a44
(-1 fn-3..ny- (n —1)(-2)(,n-3)( —4)/n_~.n2g4_...
so behaupte ich, dafs sich die Polynome P und Q allgemein auf die Form X2- nY2 bringen lassen. Man kann
somit setzen:
P = A2 - nB2, Q = C2 - nD2
wo A, 0, C, D Polynome 2mte" Grades in f und g sind, deren
Koefficienten ganze Zahlen sind.
Setzt man nämlich:
p= f+ -gv/, = f- gyn,
so wird:
P+q
Nach dem Satze 1. läfst sich aber die Funktion 4P auf die Form
X2 - n Y2 bringen, in welcher ist:
1 -, 22m,-_ -i 22nq -t a_2P2q2'-2 + a3p3q2rn-3 + - llp
y- 1 27n-12 + b2-P"" C g32 + b3)2n - q23 + + b.i TU)
| j p21i- + b2P2qm-2 + b3p2m-3 + |. r.
Und da allgemein pq rational ist, ebenso wie pk + q', wo k eine
beliebige ganze Zahl ist, so folgt daraus, dafs sich X und Y auf
Polynome von f und g reducieren, die homogen und vom Grade 2m
sind. Werden diese Polynome durch 2 geteilt, so stellen sie die
Werte von A und B in der Gleichung P/ A' - nB2 dar. Zugleich
sieht man, dafs die Funktion P aus zwei reellen Faktoren A +- B ]/n
und A - B /n zusammengesetzt ist, die keine Irrationalität weiter
enthalten, als ]/n.