Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

358 echster llau1)tteil.
' G' / - h'~ + G' + 5/ (3 + 1/,) -- 20/tl'y2 (7 + 3/'5)
+ 80so'2y' (9 + 4 41/) - 4/l' '4 (47 + 21 I/')
+ 16g'" (123 + 55 -/).
123
Multipliciert man das Ganze mit - 11 und setzt man -, aul die
Stellc von 11/5, so ergiebt sich 23 G' - 111' oder:
51110 = 7lh'(1llh' - 42h'3g' + 64h'"2 —.48h7'g' + 16l('/).
Da iinun ' durch 5 teilbar, dagegen g' nicht durch 5 teilbar ist, so
kann diese Gleichung nur auf folgende Weise in zwei andere zerfallen:
h' 5 11Ut20
Ilh' - 42h'3g' + 64h'g'2 - 48h'g'3 + 16g'l = r'"20
wobei u -= 'r" angenommen uund r" prim zu 51't ist.
Diese letztere Gleichung läfst sich auf die Form bringen:
4"'20 = (8g'2 1- 129'' + 772)2 - 5h',
aus weleher folgt, dafs r" von der Fornip2- 5q2 sein mlufs. Dasselbe
gilt vo n ". lan kann daher r"f - "2 setzen und erhält:
"20 F"2 - 5 G"2
Ist jetzt 4 == 2 - 52, wo, und v ungerade Zahlen sind, so kann
man setzen:
y- 12g'h' + 772 4- /2 +1/' ( 4F"-+ G "/5)(^ + v/5),
demnach:
h1 '2 - uG" +vF".
Da jedoch h' und G" durch 5 teilbar sind, während 1i7" sich nicht
durch 5 teilen läfst, so kann diese Gleichung nur dann bestehen,
wenn v durch 5 teilbar ist. Und da allgemein
u + v /5 (3 + i/5)(m + n /5)
also -- = 3nm 4 5n, v =n m - 3n ist, so kann man nur die Werte
'm == 161, n = - 72 brauchen, woraus sich, = 123, v - 55
ergiebt. Man hat daher:
522("'10 - 123G" - 55F".
663.
Wir tkommen also wieder auf eine (Gleichuug zurück, die der
bereits betrachtetten (-leichung 511"2 =- 123G' - 55F' ihnlich ist.
Daraus folgt, dafs die nämlichen Transformationen bis inis Unend