Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Uber die Gleichung x5 + y5 5 + 0. 357
661.
Man weifs bereits, dafs h durch 5 teilbar ist, während dies bei
g nicht der Fall ist. Beachtet man ferner, dafs h ungerade sein
mufs, und dafs somit die beiden Faktoren der rechten Seite prim zu
einander sind, so kann man dieser Gleichung nur dadurch genügen,
dafs man sie in zwei andere zerlegt, wie folgt:
h - 56u10
74- 6h3g + 16h2g2 - 16hg3 + 16g4 = ro10
wobei t = ur' angenommen und r' prim zu 5u ist.
Die zweite Gleichung läfst sich auf die Form bringen:
r'i~ = ( - 3ghg + 6g2)2 - 5(gh - 2g2)2
woraus ersichtlich ist, dafs r' von der Form p2 - 5q2 sein mufs.
Dasselbe gilt von r'2. Man kann daher r'2 = f'2 - 5'2 setzen, woraus
sich r'10 F'2 - 5G'2 ergiebt, und der vorstehenden Gleichung allgemein genügen durch:
h2 - 3gh + 6g2 mF + 5nG'
gh - 2g2= nF' + mG'.
Hieraus erhält man schliefslich h2 oder
512 20 = (m + 3n )F' + (3 m + 5) G'.
Da G', aber nicht F', durch 5 teilbar ist, so kann diese Gleichung
nur bestehen, wenn m + 3n durch 5 teilbar ist. Die einzigen Werte
von m und n, welche genommen werden können, sind daher m = 161,
n= - 72, und hierdurch ergiebt sich, wenn man durch 5 dividiert:
51120 - 123 G' - 11 F'
5
oder wenn man die Werte von F' und G' einsetzt:
511u20 f'4(123g' - lf') + Of'2g'2(123g' - 55f)
+ 5g'4(123g' - 27Sf').
662.
Diese Gleichung zeigt, dafs 3g' - ' durch 5 teilbar ist. Setzt
man also f' =3g' - h', so erhält man:
+ G'/5=[ - /h + g(3 +I/5)]5
oder wenn man entwickelt: