Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Sättze fiber die Auflösung der Gleichung x -- b t — y in ganzen Zahlen. 23
Dieses Verfalhreni, die (Gleichung x - b -==9t(a) aufzulösen, ist
keiner Ausnahme unterworfen. Indessen kann es mehr oder
weniger langwierig sein, den Wert b in der Reihe n', a2,... aufzusuchen, und nur wenn die Zahl co nicht sehr grofs ist, ist dasselbe
vollständig durchführbar. Wenn die Gleichung b1 - 1 sich aus der
1
Gleichung b2 =- 1 ergäbe1 so hätte man b nur in der Reihe 4,
3, 5n,.. aufzusuchen.
352.
Beispiel.
Ist die Gleichung x10 - 5 =- 9J(601) gegeben, die wir bereits
in No. 350 behandelt haben, und die nur in Faktoren zweiten Grades
zerlegt werden konnte, so erhält man, wenn die Vielfachen von 601
weggelassen werden, b - 5, b6 = -, b12 = -, und somit co =12.
Nun ist die vollstiindige, mit Hülfe des Satzes 2 gefundene Lösung
der Gleichung x'20 -- 1- 9J(601) die folgende: x =( —140)%u, und
somit besitzt die Gleichung x2 - 1 = — 9 (601) die Lösung x= (- 140)'~^~
oder 120ki. Folglich mufs b in der Formel 120," enthalten sein, wenn
man für g eine ungerade Zahl annimmt. Es ergiebt sich aber, dafs
man dazu x == 5 setzen mufs. Mithin ist die vollständige Löstung
der gegebeneni Gleiellchung x ( 140)+121 oder x = 214- (169)m."
Die sich hieraus ergebenden Werte sinld - 214, + 106, ~ 116,
- 229, +- 237.
353.
Hat man eine Zahl ü von der Beschaffenheit geftundel, dafs
k1" - b durch die Primzahl a teilbar ist, so ist es leicht einen
Wert von x zu finden, so dafs xn - b durch eine beliebige
Potenz a" dieser Primzahl teilbar wird.
Es sei nämlich ~ -b= ---b Ma. Setzt man dann erstens
x === 4 + Aa,
und bestimmt man A und lM' durch die Gleicihung
M + nen-lA =- aMt '
so ist offenbar n -- b teilbar durch a2.
Setzt mlan zweitens
4 = + -- Aa, x= + Ad'a2
und bestimmt man A' und WM" durch die Gleichung
M/' +t- n ' n-A' =- a2 -"
so ist die Gröfse x - b teilbar durch a4.