Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

356 Sechster Hauptteil.
Ist wiederum m + n j/5 = (9 + 4 ]5)k so erhält man die allgemeine Lösung dieser Gleichung, wenn man
1 Y z + z = (F + G _ ) (m + _._-_)
setzt. Hieraus folgt:
yz = mF + 5nG
2
(y2 - yz + Z2) = nG + nF.
Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt sich:
( + )2 = (m + n)F + (m + 5) G
oder:
7t10 = (m + ) F + (m + 5n) G.
660.
Da G stets durch 5 teilbar ist, während F sich nicht durch 5
teilen läfst, so kann diese Gleichung nur bestehen, wenn m + n durch
5 teilbar ist. Aus den fünf oben angegebenen Werten von m und n
findet man aber, dafs diese Bedingung nur durch m = 9, n - 4
erfüllt werden kann, und hieraus folgt:
57t'l 5F - 11G,
oder, wenn man durch 5 dividiert und die Werte von F und G
einsetzt:
5t10 f4(f- 11g) + 1Of2y2(5f- llg) + 5g4(25f- 11g).
Aus dieser Gleichung erkennt man, dafs f-g durch 5 teilbar sein
mufs. Ist also f=g + h, wo h eine durch 5 teilbare Zahl ist, so
hat man f-+ g V/5 h= +g (1 + ]/5), so dafs man direkt setzen kann:
F+ G /5= [ + g (1 + Y6)5 )
-= h5 + 5h g(1 + V5) + 20h3y2(3 +1/5)
+ s80ol (2 + /5 )+404(7+31/5)+ 165 (11+5V5).
Hieraus ergeben sich die besonderen Werte von F und G; da wir
11
aber nur die Gröfse F - - G brauchen, so können wir in dieser
Gleichung - an die Stelle von /5 setzen und erhalten so:
- -5 G: h(h4- 6h3g + 16h2g2- 16hg3+ 1694);
folglich:
56t10 = 7h(74 - 6h'g + 16h2y2 - 16hg3 + 16g4).