Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Uber die Gleichung x5 + y5 + -5 = 0. 355
so dafs also die Anzahl der Faktoren r in dem Ausdruck von t bestandig zunimmt. Jeder von diesen Faktoren, welcher durch eine
(leichung von der Form r'10 = f= -/ - 10f2g2L + 5g4 bestimmt wird,
wo f und y bestandig wachsende Zahlen sind, weil g'-= - (2g2)2,
/2 > 5g'2 ist, ist sicher gröfser als 1 und kann als ganze Zahl nicht
kleiner als 2 sein. Wenn man demnach auch annimmt, dafs die
Reihe u, u', u",... die Einheit zur Grenze habe, so wird doch der
Wert von t, der aus unendlich vielen Faktoren 2, r',, r", r"',...
welche nicht kleiner als 2 sein können, zusammengesetzt ist, bald
jede gegebene Gröfse übersteigen. Dies steht aber nicht im Einklang
mit der Voraussetzung, dafs die ursprünglichen Werte von x, y, z in
endlichen Zahlen gegeben seien. Mithin ist die gegebene Gleichu-ng
in dem ersten Falle, wo die eine der Unbestimmten gleichzeitig durch
2 und durch 5 teilbar sein soll, unmöglich.
659.
Zweiter Fall: x ist eine ungerade Zahl.
Alsdann ist von den beiden Unbestimmten y und z die eine
gerade, die andere ungerade, und die zweite der (leichungen (a)
lfat, sicl] auf die Forin bringen:
(y - Z + Z ) 5( 1- Z)2 5 r)
Hfieraus sieht man, dafs — yz stets eine ganze Zahl ist, und dlfs
y --- yZ + z- durch 5 teilbar sein mufs. In der That hat hat an:
-l y- +- Z ( + S - 5 (- yZs) = t 5 ( 2y)
Mithin kann die vorige Gleichung folgendermafsen geschrieben werden:
(yz)2 - /12 y + )2 =
und da die ungerade Zahl r ein Teiler einer Zahl von der Form
pS - 5q2 ist, in welcher p und q prim zu einander sind, so mufs
sie selbst von dieser Form sein. Dasselbe gilt von - r, da bekanntlich jede Zahl von der Form p2 - 5q2 auch zugleich von der Form
5a2 - b ist. Man kann daher -r /'- 592 annehmen, und setzt
mani wie oben (f/+g /)5 =F+ G G/5, so erhält man -r-=F2- 5 Gs
und die aufzulösende Gleichung wird:
-;5 y2 52 y~ s F 5G
~(-1:)2 s( Y- + +@- + 2))2 F2' - 5G2.
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