Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

354 Sechster Hauptteil.
5) teilbar sein. Mitlhinl kan man von den finf Werten von n nur
den Wert n == 0, welcher dem Werte m== 1 entspricht, benutzen.
Ilierdtlurcll elriebt sich als die einzig zuliissige Lösung:
- 10 = G = 5/(f. 4 - 10 iOf2l +.q4)
oder:
2= -. + 6 to/1'y + y4).
In dieser Gleichung sind die beiden Faktoren der rechten Seite
prim zu einander, und g ist als gerade Zahl anzunehmen. Denn wä:re
y ungerade, so miüfste f gerade sein, und die rechte Seite unsrer
Gleichung würde ungerade sein, während die linke sich durch 29 teilen
litfst, weil t eine gerade Zahl ist. Es folgt hieraus, das die- vorstehende Gleichung in zwei andere nur in folgender Weise, wobei
t = 2ulr angenommen ist, zerlegt werden kann:
g 5= 629 10
f4 + 1Of2g2 + 5y4 10.
In der zweiten Gleichung läfst sich die linke Seite auf die Form
(/2 +1 5q2)2 - 5(2q2)2 bringen; mithin mufs ihr Teiler r' von der
l'orm lp2- )5 q sein. Dasselbe ist der Fall bei r'2, und man kann
demnlach setzen:
r 2 = f- 5.2', also r 10 = J1f2 _ 5 (',
wo 'I und G' Funktionen von derselben Art wie F und ( sind.
Man erhällt daher die Gleichung:
(f/' + 592)2 - 5(2,2)2 = 2 - 5 (',
in welcher 2g'2 512219t20 ist, und findet dann, wie olbenC, (das die
einzig zuläissige Lösung die folgende ist:
511. 219. 20 = (f'4 + 10f/"2'2 + yC' 4).
Setzt man ferner u u'"= ', wo g' prim zu 10?,' ist, o kann diese
Gleichulong nir auf foltgende Art in zwei andere zerfallen:. - 511. 21o9u 2)
f'4 + lof"yg2 + 5g<4 =_ )20.
658.
Wir kommen also wieder zu Gleichungen, welche stets dieselbe
Formn besitzen, und deren Anzahl ins Unendliche vermehrt werden kann.
)a wir nun nach einander x =- -tr, t = 2ur', u =- n '",
~u ==_ u'r' u.s. w. gesetzt haben, so ergiebt sich hieraus:
t =- 2 () -- 2u 1r'' " -- 2't r' ' r" -