Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Über die Gleichung x5 + y5 + 5 == 0. 353
ergiebt, so wird r5 = F - 5 G2, und somit
(D )2 5 (l2 )2 F2 - 5G2.
Um eine allgemeine Lösung dieser Gleichung zu erhalten, mufs
man zwei Zahlen m und n derart wählen, dafs man hat:
(9 + 4 5)k = + n/5,
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Diese Zahlen genügen allgemein der Gleichung m2 - 5n2 = 1, und man kann setzen:
'+ + 1+ v =5 (F + G/5) ( + M l/5),
2 2
mithin:
(y2 + z2) = F+ 5nG
-57t10 mG + nF.
656.
Diese Formeln enthalten unendlich viele Lösungen, da man für
k eine beliebige ganze Zahl nehmen kann; diese unendlich vielen
Lösungen können aber nur fünf verschiedene Formen annehmen.
Welches nämlich auch der Exponent k sein möge, er ist immer
von einer der fünf Formen: 5i, 5i + 1 5i+-2. Ich bemerke aber,
dafs der unbestimmte Teil 5i weggelassen werden kann, gleich als
ob er in den Ausdruck von r5 enthalten wäre. Denn man kann
(f + g j/5) (9 + 4 /5)i = f + _g -/5
setzen und erhält wiederum r =2 - 5g'2, so dafs man in den Werten
von F und G nur f' und g' an die Stelle von f und g zu setzen
braucht. Wir haben daher nur die fünf Werte 7 = 0, + 1, + 2 in
Betracht zu ziehen, und diesen entsprechen folgende Werte von m und n:
m=1, 9, 161
n=0, H- 4, + 72.
657.
Wir bemerken ferner, dafs in der Gleichung
-. r57 nG + nF,
in welcher G stets durch 5 teilbar ist, das Glied nF durch 5 nur
dann teilbar sein kann, wenn n durch 5 teilbar ist. Denn da r prim
zu 5 t und sein Wert f2 - 5g2 ist, so kann f und somit F nicht (durch
L e g c ndr, Zahlcntheoric II. 23