Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Uber die Gleichung x3 + yt + ' = 0. 351
f = f + 392 und P =F2 3G2,
so erhält man die Gleichung:
(- 2 )+3( ) =F2+3GX
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Diese letztere giebt, wenn man einsetzt:
2 3m-133n-3 -3 Sg( _ - ).
In dieser Gleichung, in welcher f2 g2 eine ungerade Zahl ist, weil
f'2 + 3g2 eine solche ist, mufs g durch 23"n-1 teilbar sein. Ist daher:
g- 23" —A, f+g-B, f-g=C,
so hat man:
(3 - a)-= ABC.
Da nun das Produkt ABC ein Kubus ist und die Faktoren
A, B, C prim zu einander sind, so mufs jeder von diesen Faktoren
ein Kubus sein. Man mufs also setzen:
A.= A, B- = 3, C =und (lies giebt:
f + #(/ -t. /, --, - -3
und zugleicll:
iK1 v = 37?. — 1^.
Hieraus folgt die Gleichung:
3 3 93mA3
W - m = ) 23i3,
welche der gegebenen Gleichung ähnlich ist, und bei der man zu
beachten hat, dafs eine der drei Zahlen i, t, v den Faktor 3n-1 enthalten nlufs. Nach dem, was wir unter ~Zweitens" bewiesen haben,
mulus aber das Glied 2"21, welches bereits durch 2 teilbar ist, notwendig auch durch 3 teilbar sein. Mithin hat man A -— ~'i'4 zu
setzen, wodurch sich die Gleichung ergiebt:
-3 - = V3 (2mn3n —1)3.
Somlit erhält man aus der Gleichung x3+3- y23 = (2n32l,)3,i in welcher
die eine der unbestimmten Zahlen durch 3n teilbar ist, eine andere
ähnliche Gleichung, in der die entsprechende unbestimmte Gröfse nur
durch 3'~-1 teilbar ist. Wiederholt man daher diese Transformationen
so oft, als n Einheiten enthält, so gelangt man zu einer letzten
transformierten Gleichiung x" + - 1/'= z'3, in welcher keine der Zahlen