Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

346 Sechster Hauptteil.
eine gewisse Grenze übersteigt, in vier Polygonalzahlen von der Ordnung mn + 2 zerlegt werden kann, den Fall allein ausgenommen, wo
in + 2 und A beide durch 4 teilbar sind. Aber auch dieser Fall
kann mittelst des folgenden Satzes auf die Hälfte seiner Ausdehnung
zurückgeführt werden.
651.
Satz 9. Ist m ungerademal-gerade oder von der Form
4m'+- 2, so ist jede gerademal-gerade Zahl 4A'> 28m3 in
vier Polygonalzahlen von der Ordnung rn + 2 zerlegbar,
vorausgesetzt, dafs A'- n' ungerade ist.
Es ist nämlich a = 4A'- 4mn'x und b == 4A'- (4rn'+ 2)x.
1 1
Setzt man nun - a = a und -b = b' so kann die Auflösung der
Gleichungen (1) vermittelst der Auflösung derselben Gleichungen gegeben werden, wenn man in diesen a' und b' an die Stelle von ct
und b setzt. Alsdann hätte man:
a' ~ A' n' x
b' 2a' - x.
Nun setzt man aber A'- n' als ungerade voraus; ist daher der
Wert von x ungerade, so werden die Zahlen a' und b' ungerade sein
und die Gleichungen (1) sind auflösbar. Es genügt also hierzu, dafs
die Grenzen von x von einander wenigstens um zwei Einheiten verschieden seien, und dies findet statt, wenn 4A' > 28m3 ist.
Es ist unnötig, diese Untersuchungen noch weiter fortzusetzen,
da, wenn es Fälle giebt, in denen eine die Grenze 28mn3 übersteigende
gerademal-gerade Zahl oder irgend eine andere angebbare Zahl nicht
in vier Polygonalzahlen zerlegbar ist, man sicher ist, dafs sich diese
Zahl in fünf Polygonalzahlen zerlegen läfst, von denen eine der Einheit gleich ist. Wir wollen jetzt an einein Beispiele zeigen, wie
man direkt die Polygonalzahlen bestimmt, aus denen sich eine beliebige gegebene Zahl zusammensetzen lifst.
652.
Es sei die Aufgabe gestellt, die Zahl 6484 in acht oder
in weniger Oktogonalzahlen zu zerlegen.
Nach dem allgemeinen Satze m1ufs A-r, worin A die gegebene
Zahl 6484 und r gleich einer der Zahlen O, 1, 2, 3, 4 ist, in vier
Oktogonalzahlen zerlegbar sein. Nun sind im Falle m =- 6 die Grenzen
von 6 den Formeln des Artikel 646 zufolge: