Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 345
648.
Satz 6. Ist m eine gerade Zahl, so ist jede ungerade
Zahl A>7nm3 in vier Polygonalzahlen von der Ordnung m+2
zerlegbar und jede gerade Zahl A + 1 > 7m3 zerlegbar in
finf Polygonalzahlen, von denen eine gleich der Einheit ist.
Ist nämlich A ungerade und mn gerade, so folgt unmittelbar aus
den Gleichungen (2), dafs, welches auch x sein möge, a und b ungerade Zahlen sind. Mithin ist die Auflösung der Gleichungen (1)
immer möglich, wenn es einen zwischen den erforderlichen Grenzen
liegenden Wert von x giebt, d. h. wenn die Grenzen von b um eine
Gröfse, die gröfser als m ist, verschieden sind. Es mufs daher sein:
8A V6A >
> m,
also:
A>7m3.
Was den zweiten Teil des Satzes anlangt, so folgt derselbe unmittelbar aus dem ersten, da man, wenn man von der gegebenen
Zahl 1 abzieht, eine ungerade Zahl erhält, die in vier Polygonalzahlen von der Ordnung m + 2 zerlegbar ist.
649.
Satz 7. Ist m eine gerademal-gerade Zahl oder von der
Form 4n, so ist jede gerade Zahl A > 28m3 in vier Polygonalzahlen von der Ordnung mn + 2 zerlegbar.
Man hat nämlich a = A - (m - 2) x. Giebt es nun für x zwei
zwischen den betreffenden Grenzen liegende Werte x == h, x ==h h 1,
oder hat man A > 28m3, und nennt man a und a' die beiden entsprechenden Werte von a, so ist: a - = m - 2 = 4n - 2. Mithin
ist von den beiden Zahlen a, a' die eine ungerademal-gerade, und die
Auflösung ist möglich.
650.
Satz 8. Ist m eine ungerademal-gerade Zahl oder von
der Form 4n + 2, so ist jede ungerademal-gerade Zahl
A > 7m3 in vier Polygonalzahlen von der Ordnung m +- 2
zerlegbar.
Denn da a = A - (rn - 2)x ist und m - 2 die Form 4n besitzt, so ist, welches auch x sein möge, die Zahl a ungerademalgerade. Es braucht also nur x einen Wert zu haben, d. h. A>7m3
zu sein, alsdann ist die Auflösung stets möglich.
Mittelst dieser Sätze wird bewiesen, dafs jede Zahl A, welche