Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

344 Sechster Hauptteil.
und setzt man A als eine grofse Zahl voraus, so hat man nahezu:
b<1/S > A / 6A
Kennt man vermittelst dieser Grenzen die verschiedenen Werte
von b, so ergiebt sich a mit Hülfe der Gleichung a -b+ - (A,-b),
und da a-b gerade sein soll, so folgt, dafs A- beine ganze Zahl ist.
m
Wird diese ganze Zahl gleich x gesetzt, so erhält man:
b A - mx
a = b +- 2x.
Nachdem dieses vorausgeschickt ist, können wir die folgenden
Sätze beweisen.
647.
Satz 5. Ist n eine ungerade Zahl und A irgendeine gegebene Zahl, welche gröfser ist als 28m3, so ist A in vier
Polygonalzahlen von der Ordnung in + 2 zerlegbar.
Da die Grenzen von b bekannt sind, so kennt man auch die von
x aus der Gleichung: x = -- * Nimmt man an, dafs die Differenz
der Grenzen von b gleich 2m oder gröfser als 2m sei, so ist die
Differenz der Grenzen von x gleich 2 oder gröfser als 2; mithin besitzt x wenigstens zwei aufeinanderfolgende Werte h, h + 1. Und
da m ungerade ist, so ist von den beiden entsprechenden Werten
von b, welche sich aus der Gleichung b A - mx ergeben, der eine
gerade, der andere ungerade. Nimmt man den ungeraden Wert, so
ist die Zahl a ebenfalls ungerade, da a = b + 2x ist; es lassen sich
demnach die Gleichungen (1) auflösen. Damit also die Zahl A in
vier Polygonalzahlen von der Ordnung m + 2 zerlegbar sei, reicht
es aus, dafs man
A Ju /6i a >2m oder A > mn (V/8 + -/6)
oder einfacher A> 28 m3 habe, was mit dem Wortlaut des Satzes
übereinstimmt.
Man sieht, dafs dieser Satz von grofser Allgemeinheit ist, da
er auf alle Zahlen, welche gröfser als die Grenze 28m3 sind, Anwendung findet und nur voraussetzt, dafs die durch mn+2 bezeichnete
Ordnung der Polygonalzahlen ungerade sei.