Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 343
demselben eine gröfsere Genauigkeit und Eleganz verleiht, nämlich
die, dafs unter den m +- 2 Polygonalzahlen von der Ordnung +- 2,
aus denen sich eine gegebene Zahl zusammensetzen läfst, stets n - 2
sich befinden, die man gleich Null oder gleich 1 annehmen kann.
Es hat daher Cauchy eine wichtige Entdeckung in der Theorie
der Zahlen gemacht, indem er zuerst den Beweis des Fermat'schen
Satzes, der durch die von ihm hinzugefügte Bedingung präciser geworden war, angab. Man kann jedoch noch weiter gehen und
beweisen, dafs, wenn man eine gewisse für jede Ordnung
der Polygonalzahlen leicht anzugebende Grenze überschritten hat, jede gegebene Zahl sich in vier oder höchstens
fünf Polygonalzahlen zerlegen läfst. Dieser neue Satz soll
denl Gegenstand der folgenden Untersuchungen bilden.
645.
Nimmt man an, dafs sich die gegebene Zahl A in vier Polygonalzahlen von der Ordnung, -+ 2. zerlegen lasse, so mufs man
A 2 (a - b) + b
setzen und die Zahlen a und b so bestimmen, dafs sich die Gleichungen
a = S2 + t2 + uG2 + V2
(1) = s +- t + u - + v
in positiven ganzen Zahlen lösen lassen. Diesen Gleichungen kann
man aber genüigen, wenn at und b gleichartig sind, wenn ferner b
zwischen den Grenzen 1/4 a und ]/3a -2-1 liegt, und wenn endlich ac ungerade oder das Doppelte einer ungeraden Zahl ist. Es
giebt noch andere Werte von a und b, welche die Auflösung der
Gleichungen (1) gestatten wurden; indessen reicht es aus, die soeben
angeführten zu betrachten.
646.
Setzt man nach einander b = -/4a, b - 1/3a-2 - 1, so findet
man, dafs die einer gegebenen Zahl A zugehörigen Grenzen von b
die folgenden sind:
< 2m-4 + 8A +
> i —2 + ii - m-3 +),
2 -'\ 2i m/