Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

342 Sechster Hauptteil.
2^-+- 4 -2pol.2
5m - 6 -- 4 pol. 2 + (m - 2) pol. 1
8m + 8 = pol. 4+2 ol.2.
14m + 10 - pol. 5 + pol. 3 + pol. 2.
In einem einzigen Falle, nämlich im Falle 5n + 6, sind m -+ 2
Polygonalzahlen erforderlich; die drei andern erfordern nur zwei oder
drei. Mithin sind die Ausnahmen keine Ausnahmen, vielmehr befolgen sie ebenfalls den allgemeinen Satz. Es ist daher jede ganze
Zahl die Sunme von +- 2 Polygonalzahlen von der Ordnung im +2,
von denen n - 2 gleich Null oder gleich 1 sind.
644.
Der Beweis, den wir soeben von dem Fermat'schen Satze gegeben haben, setzt als belannt nur den Beweis des ersten Falles
dieses Satzes, welcher die Trigonalzahlen betrifft, voraus. Dieser Satz
bildet aber einen Teil der allgemeinen Theorie der trinären Formen
der Zahlen, die wir im dritten Hauptteile auseinandergesetzt haben.
Wir haben ferner gezeigt (No. 157), dafs, wenn man diesen ersten Teil
als bewiesen annimmt, daraus unmittelbar folgt, dafs jede ganze Zahl
die Summe von vier Quadraten ist, was den zweiten Fall des Fermat'schen Satzes bildet. Mithin folgen aus dem ersten Falle alle
andern.
Da man kaum bezweifeln kann, dafs Fermat wirklich im Besitze des allgemeinen Beweises seines Satzes über die Polygonalzahlen
gewesen ist, so mufs man glauben, dafs dieser Beweis vollständig
verschieden von demjenigen war, den wir soeben dargelegt haben.
in der That scheint es zunächst, dafs Fermat keine Kenntnis von
der Theorie der trinären Formen der Zahlen hatte, den Fall der
Zahlen von der Form 8n -- 3 ausgenommen, welcher auf den ersten
Fall seines Satzes zuriickkommnt, den er jedoch nicht erwähnt, und
ferner den Fall der Primzahlen von der Form 8n- 1 ausgenommen,
die, wie er behauptet, von der Form ps+ q" + 2r2 sind, deren Doppeltes die Summe von drei Quadraten ist. Wenn Fermat die betreffende Theorie gekannt hätte, so würde er diese letztere Eigenschaft nicht auf die Primzahlen von der Form Sn - 1 beschränkt
haben, da sie allgemein für alle ungeraden Zahlen gilt. Wenn ferner
der Beweis von Fermat derselbe gewesen wäre, wie der vorhergehende, oder sich auf dieselben Prinzipien gegründet hätte, so würde
er zweifellos dem Satze die Bedingung hinzugefügt haben, welche