Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 341
Hieraus ist ersichtlich, dafs P(a +2) nur in dem einen Falle mn 3
gröfser als Q(a) sein kann, und dafs sodann P(a+-2)= Q(a) + 1
ist. In allen andern Fällen ist P(a + 2) kleiner oder höchstens
ebenso grofs als Q(a), und es genügen somit alle Zahlen von P(a)
bis P(a + 2) unserm Satze.
Vierter Fall. Nimmt man endlich an, dafs es für a den einzigen Wert b = c und für a + 2 einen oder mehrere Werte von b
gebe, deren gröfster c sei, so hat man:
P(a= 2(a- C)+c
(a) = m (a - c) + c + - 2
P(~ + 2)= -(a + 2- ) + c.
Man sieht, dafs in diesem Falle zwischen Q(a) und P(a + 2) eine
Lücke existiert, denn es ist P(a +- 2)= Q (a) + 2, und die dazwischen
liegende Zahl, welche fehlt, ist Q(a) + 1. Abgesehen von dieser Ausnahmre gilt somit der Satz auch bis zu P(a + 2), wenn er bis zu
P(a) bewiesen ist.
643.
Wir brauchen jetzt nur noch einen Blick auf die Tabelle in
No. 634 zu werfen, um zu finden, welches die Zahlen Q(a) + 1 sind,
die zu den Ausnahmen im vierten Falle gehören. Diese Zahlen reducieren sich auf vier, nämlich:
Q(7) + 1 = 2m+ 4
Q(15) + == 5m + 6
Q(23) + = 8m+8
Q(37) + 1= 14mn + 10.
Der allgemeine Ausdruck von pol. x (Artikel 632) giebt aber:
pol. 2 = m + 2
pol. 3 3m +3
pol. 4= 6i + 4
pol. 5 = 10m + 5,
und mit Hülfe dieser Polygonalzahlen kann man die vorstehenden
vier Zahlen folgendermafsen ausdrücken: