Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

340 Sechster Hauptteil.
P(a) bis Q(a) stattfindet. Mithin ist unser Satz bestätigt bis zur
Zahl (Q(5) = 2n + 1.
Ist jetzt a= 7, so erhält mall der Tabelle in No. 634 zufolge
c d= 5, und dies giebt:
P(7)- - m+5
Q(7) 2ni + 3.
Da 3 der kleinste Wert von m ist, so sieht man, dafs P(7) nur in
dem einen Falle, wo m - 3 ist, gröfser als Q(5) ist, und zwar hat
man alsdann: P(7) = Q(5) + 1. Mithin ist die allgemeine Eigenschaft bestätigt für alle Zahlen von 1 bis Q(7) = 2m + 3.
In dieser Weise könnte man die Untersuchung der besonderen
Fälle bis zu P(121) fortsetzen. Indessen beschränken wir uns auf
einige allgemeine Fälle, welche die Auflösung aller besonderen Fälle
einschliefsen. Es handelt sich allgemein darum, zu untersuchen, ob alle zwischen P(a) und P(a + 2) enthaltenen
Zahlen dem Satze Genüge leisten, oder ob für einige von
diesen Zahlen eine Ausnahme stattfindet.
642.
Erster Fall. Nehmen wir an, dafs es für die Zahl a zwei entsprechende Werte von b, nämlich c und c- 2, und für die Zahl a +2
einen oder mehrere Werte von b gäbe, deren gröfster c sei, so finden
wir, wie im Artikel 638, dafs alle Zahlen von P(a) bis P(a + 2)
dem Satze Genüge leisten.
Zweiter Fall. Nimmt man an, dafs, wenn c und c- 2 die
beiden zu der Zahl a gehörigen Werte von b sind, c + 2 der gröfste
oder einzige Wert von b sei, welcher der Zahl a + 2 entspricht, so
findet man ebenfalls, wie in No. 639, dafs alle Zahlen von P(a) bis
P(a + 2) dem Satze Genüge leisten.
Dritter Fall. Nimmt man an, dafs b nur den einen der Zahl a
entsprechenden Wert c habe, und dafs es für a + 2 einen oder
mehrere Werte von b gebe, deren gröfster c + 2 sei, so ist in diesem
Falle:
P(a)=7 (a- c) +c
Q(a) = (a. - ) + C + m - 2
P(a+ 2)= (a -,) + c+ 2.