Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 339
Hieraus sieht man, daCs P(a - 2) stets kleiner als Q(a) ist,
den einen Fall n = 3 ausgenommen, in welchem P(a + 2)= -Q(a)
ist. Mithin sind alle zwischen P(a) und P(a + 2) einschliefslich
enthaltenen ganzen Zahlen in m + 2 Polygonalzahlen von der Ordnung mn + 2 zerlegbar.
640.
Beachtet man jetzt, dafs im ersten Falle P(a + 2) = P(a) +- n
und im zweiten P(a + 2) = P(a) + 2 ist, so kann man daraus
schliefsen, dafs, wenn man von einer gegebenen Zahl a z. B. a =121
aus rechnet, die Reihe P(a), P(a + 2), P(a + 4),... welche dadurch gebildet ist, dafs man a stets um zwei Einheiten vermehrt,
sich ins Unendliche erstreckt. Mithin sind alle ganzen Zahlen von
P(121) oder 50mn + 21 an bis ins Unendliche in in + 2 Polygonalzahlen von der Ordnung in + 2 zerlegbar.
Es bleibt nur noch zu beweisen, dafs alle Zahlen, welche kleiner
sind als 50mn + 21, dieselbe Eigenschaft besitzen. Dies ist der
Zweck des folgenden Satzes, durch welchen der allgemeine Beweis
des Fermat'schen Satzes vervollständigt wird.
641.
Satz 4. Jede ganze Zahl, welche kleiner als P(121) oder
50-n+21 ist, ist die Summe von rn+2 Polygonalzahlen von
der Ordnung nm + 2, von denen m - 2 gleich Null oder
gleich 1 sind.
Ist zuerst a == 5, so sieht manl aus der Tabelle in No. 634,
da fs 3 der einzige zugehörige Wert von b ist. Setzt man also c== -- 3,
so geben die Formeln in No. 636:
P(5)= m +- 3
Q(5) 2n + 1.
Unterhalb P(5) hat man die Zahlen 1, 2, 3,... m+ -2; dieselben sind aus sovielen der Einheit gleichen Polygonalzahlen zusammengesetzt, als sie Einheiten besitzen. Mithin gilt der Satz auch
in Bezug auf diese; ja man sieht, dafs die letzte von diesen Zahlen
nm + 2 durch eine einzige Polygonalzahl dargestellt wird, nämlich
durch pol. 2.
Die Zahlen von P(5) bis Q(5) sind so, wie der Satz besagt,
zusammengesetzt, da diese Eigenschaft allgemein für alle Zahlen von
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