Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

338 Sechster Hauptteil.
P(aL) 2 (a - C) + c
Q()= (a - c + 2) + c- 2 + n- 2
setzt, alle zwischen P(a) und Q(a) liegenden ganzen Zahlen die
Summe von m- + 2 Polygonalzahlen von der Ordnung nm + 2 sind.
Betrachten wir jetzt die Zahl P(a + 2), und ist c' die gröfste
in j/4a-+ 8 enthaltene ungerade Zahl, so wie c die gröfste in j/4a
enthaltene ungerade Zahl ist, so müssen wir zwei Fälle unterscheiden, je nachdem c'= c oder c'= c + 2 ist; denn offenbar kann
man keine andere Annahme über den Wert von c' machen.
638.
Ist c'= c, so genügt es, in dem Ausdruck P(a) a + 2 an die
Stelle von a zu setzen, wodurch man erhält:
P(a + 2)- — (a + 2- c) + c.
Vergleicht man diesen Wert mit dem von Q(a), so ergiebt sich:
P(a + 2) = Q(a) - + 4.
Da nun der kleinste Wert von mr gleich 3 ist, so ist ersichtlich, dafs
die Zahl P(a +- 2) nur in dem einen Falle n =- 3, in welchem
P(a + 2) = Q(a) + 1 ist, gröfser ist als Q(a). In jedem andern
Falle ist P(a + 2) in der Reihe P(a), P(a) + 1, P(a) + 2,.. Q(a)
enthalten.
Wir haben aber gesehen, dafs alle Zahlen dieser Reihe aus in + 2
Polygonalzahlen von der Ordnung in + 2 zusammengesetzt sind, und
in dem Falle, wo das Glied P(a + 2) aus dieser Reihe heraustrite
und somit zu derselben das Glied Q(ca) — 1 hinzukäme, würde dieses
Glied nur aus vier Polygonalzahlen gebildet sein. Mithin sind alle
zwischen P(a) und P(a + 2) einschliefslich enthaltenen ganzen Zahlen
au-s m -+2 Polygonalzahlen von der Ordnung in+2 zusammnengesetzt.
639.
Ist zweitens c'= c +- 2, so hat man:
P( + 2)= (- c) + c + 2,
und somit:
P(, + 2) = P(,a) + 2 = (t,() -- 2 (ö - 3).