Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 337
eine Lösung hat, ausgenommen den Fall, wo der Rest r gleich Null
ist. Denn alsdann kann man ohne Unterschied r - 0 und r = - 2
setzen, und es giebt daher in diesem Falle zwei Lösungen. Wenn
es sich jedoch um die letzte der Zahlen P(a) +-p, welche gleich
Q(a) ist, handelt, mufs man r = m - 2 nehmen, und dann giebt es
nur eine Lösung, weil für r 0: b = d - 2 sein würde, eine Zahl,
die nicht in der Reihe c, c - 2, c - 4,... d enthalten ist.
2) Ist P(a) +p oder P +-p irgend eine Zahl aus der Reihe
P, P -- 1, P + 2,... Q, so kann man immer
+ p (a - b) + b + r
setzen. Substituiert man daher in diesem Ausdruck die Werte von
a und b, welche durch die Gleichungen (1) gegeben werden, so erhält man:
P + p = -(s2 - S + t2 - t + u2 - u + v2- ) + r + s + t+ u - v.
Bezeichnet man also allgemein durch pol. x die Polygonalzahl
von der Ordnung in + 2, deren Grundzahl x ist, so ist:
P + p = pol. s + pol. t + pol. u + pol. v + r pol. 1,
d. h. die Zahl P + p ist zusammengesetzt aus vier Polygonalzahlen,
deren Grundzahlen s, t, u, v sind, und aus r Polygonalzahlen, welche
gleich der Einheit sind. Da nun r < m- 2 oder höchstens gleich
m -2 ist, so folgt daraus, dafs die Zahl P + p aus in + 2 Polygonalzahlen von der Ordnung m+-2 zusammengesetzt ist, von denen
mg -2 gleich Null oder 1 sind.
637.
Satz 3. Ist a = 121, so ist der gröfste Wert von b gleich
21, und alsdann ist P(a) - 2(a - ) + b = 50m + 21, eine
Zahl, die nach dem vorigen Satze die Summe von vier Polygonalzahlen von der Ordnung m + 2 ist.
Dies vorausgeschickt, behaupte ich, dafs jede ganze
Zahl, welche gröfser ist als 50m + 21 die Summe von m- + 2
Polygonalzahlen von der Ordnung m + 2 ist, von denen
m - 2 gleich Null oder gleich 1 sind.
Ist nämlich a eine beliebige ungerade Zahl, die gröfser ist als
121, so giebt es stets, dem Satze 1 zufolge, zwei aufeinanderfolgende
ungerade Zahlen c, c - 2, welche zwischen den Grenzen ]/4a und
/3a - 2- 1 liegen, und aus dei vorigen Satze folgt, dafs, wenn man
Legendre, Zahlentheorie II. 22