Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Sätze über die Auflösung der Gleichung xn - b -- ay in ganzen Zahlen. 21
die positiven Zahlen z und (p von der Beschaffenheit, dafs
n- cpm -1 ist, so erhält man x b=ty, wo y irgend eine
Wurzel der Gleichung y - ( — 1)P = - J (a) bedeutet.
2) Hab eu m und n'^ einen gemeinschaftlichen Teiler G u nd
ist n = — 1'o und ze' - p = -1, so erhält man x- = bty oder
x -by = - t(a), wo y irgend eine Wurzel der Gleichung
y'- (+ 1)cP -= r(a) bedeutet.
Setzt man nämlich in dem zweiten Falle x'- = bly, so hat man:
xnw oder xn b-=n'y' = bl-+tW(- 1l)( - b.
Der erste Fall ist im Übrigen eine Folge des zweiten.
Dieser Satz bietet bereits eine grofse Anzahl von Fällen, in
denen man unmittelbar die Gleichung x" - b- J (a) auf die Form
x + 1 = - (a) zurückführen kann. Er zeigt zu gleicher Zeit unendlich viele andere Fälle an, in denen die Gleichung x -b — = (a)
von selbst in n' Gleichungen von niedrigerem Grade x" - bty - Jl (a)
zerfällt.
348.
Erstes Beispiel.
Die gegebene Gleichung sei x3 -- 49 -== SJ(223). Dieselbe ist
lösbar (nach Satz 1), weil (-49)74 = 1 ist. Da die Zahlen 3 und
74 prim zu einander sind, so erhält man nach dem vorhergehenden
Satze:
x (- 49)25y = 66y,
wo y eine Wurzel der Gleichung y3 - 1 =- 9)(223) ist.
Mani beachte, dafs, wenn die Gleichung x3 + 7 -9 )(223) gegeben wäre, eine ihrer Wurzeln, wie leicht zu sehen, x == 6 sein würde.
Hieraus folgt aber für die Gleichung x3 + 49 = 9 (223) der Wert
x - - 36. In der That sind die drei Wurzeln dieser letzteren x = - 36,
-66, 102.
Ist allgemein a eine Lösung der Gleichungr xn - b =J)(a), so
ist ak eine Lösung der Gleichung xn - bk = J(at).
349.
Zweites Beispiel.
Ist die Gleichung x' + 20 = 1Z(61), in welcher b - 20 ist,
gegeben, so mufs zunächst, wenn diese Gleichung möglich sein soll
(No. 339), mit Weglassung der Vielfachen von 61, b10 = 1 sein. Nun
findet man aber b5 = - 1 und somit b10 = 1; mithin ist die Glei