Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

336 Sechster Hauptteil.
Dritter Fall. Setzt man a = 71, so findet man nur eine ungerade Zahl 15, welche zwischen den, zu diesem Werte von a gehörigen, Grenzen 1/284 und /211 - 1 enthalten ist. Versucht man
darauf den Wert b = 13, so ergiebt sich aus den Formeln in No. 625,
dafs derselbe nicht zulässig ist, weil eine der Unbestimmten s, t, 1,, v
negativ ist. Es ist daher in die Tabelle nur der eine Wert b = 15
als zu der Zahl a 71 gehörig aufgenommen worden.
636.
Satz 2. Es sei a eine beliebige ungerade Zahl; ferner
seien c, c —2, c - 4,... d die verschiedenen aufeinanderfolgenden Werte von b, für welche sich die Gleichungen (1)
in positiven Zahlen auflösen lassen, und endlich r ein beliebiges Glied der Reihe 0, 1, 2, 3,... in - 2.
Betrachtet man dann die Funktion:
Z = (a - ) + b +,
in welcher b und r Glieder aus den für sie festgesetzten
Reihen sind, und nennt man 1P oder P(a) den kleinsten und
Q oder Q(a) den gröfsten Wert dieser Funktion, so hat man:
P(a)= (a - c) + c
Q(a) = (-a - ) + d + in - 2.
Nachdem dieses festgestellt ist, behaupte ich: 1) dafs
alle zwischen P(a) und Q(a) liegenden ganzen Zahlen durch
die Funktion Z dargestellt werden; 2) dafs alle diese Zahlen
in nm - 2 Polygonalzahlen von der Ordnung im + 2 zerlegt
werden können.
1) Ist nämlich Z= P(a) +-p, wo p eine beliebige Zahl zwischen 1
und Q(a) - P(a) ist, so erhält man zur Bestimmung von b und r
die Gleichung:
p=(m- 2) - +.
Da nun p und n - 2 gegebene Zahlen sind, so sieht man, dafs r
der Rest ist, welcher bei der Division von p durch n - 2 übrig
bleibt, und dafs man, wenn man den Quotienten dieser Division q
c - b
nennt, 22- q oder b = c -- 2q erhält.
Hieraus folgt, dafs man für jeden gegebenen Wert von p nur