Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen. 333
hat, wo x die Basis der Polygonalzahl oder die Stelle bezeichnet,
welche sie unter den Polygonalzahlen derselben Ordnung einnimmt.
Dieser Ausdruck beweist, dafs 0 und 1 zwei den Polygonalzahlen
aller Ordnungen gemeinsame Glieder sind.
Die Trigonalzahlen entspringen aus der Annahme n 1=
und die Quadratzahlen aus der Annahme m- = 2. In diesen beiden ersten Fällen ist es gleichgültig, ob man x positiv oder negativ
nimmt; man erhält nur eine und dieselbe Reihe, nämlich die der
Trigonalzahlen oder die der Quadratzahlen.
Ist aber m > 2, so giebt der allgemeine Ausdruck der
Polygonalzahlen zwei verschiedene Reihen für jede Ordnung, je nachdem man x positiv oder negativ annimmt. Diese beiden
Reihen hängen mit einander durch dasselbe Gesetz zusammen, so
dafs die eine nur die Fortsetzung der andern ist. Bei der Anwendung auf den Fermlat'schen Satz sieht man jedoch jetzt von der
mit negativen Werten von x gebildeten Reihe ab und betrachtet
nur die, welche aus den positiven Werten entstanden ist,
wie die Tabelle in No. 156 sie darstellt.
633.
Nachdem dieses vorausgeschickt ist, müssen wir beweisen, dafs
eine beliebige Zahl sich aus so vielen Polygonalzahlen von der Ordnung mn + 2 zusammensetzen läfst, als die Zahl m + 2 Einheiten
ent hält.
Die Anzahl der Polygonalzahlen, aus denen sich eine gegebene
Zahl zusammensetzen läfst, könnte jedoch kleiner als zm + 2 sein;
betrachtet man aber Null als die ergänzende Polygonalzahl, so kann
man die Anzahl der Polygonalzahlen immer gleich m + -2 annehmen,
in Übereinstimmung mit den Wortlaut des Satzes.
Da dieser Satz bereits im ersten Bande für den Fall der Trigonalzahlen und der Quadratzahlen, welche die beiden ersten Fälle
des allgemeinen Satzes bilden, bewiesen worden ist, so betrachten
wir nur die weiteren Fälle, in denen Im > 2 ist, nämlich m =- 3 fir
die Pentagonalzahlen, m = 4 für die Hexagonalzahlen, u. s. w.
Nach dem, was wir im vorhergehenden Paragraphen bewiesen
haben, bleiben uns nur noch einige wenige Hülfssätze zu begründen
übrig, ehe wir zu dem Satze gelangen, welcher den Gegenstand dieses
Paragraphen ausmacht.