Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

332 Sechster Hauptteil.
andern Werte von b, welche zwischen den angegebenen Grenzen liegen,
der Aufgabe nicht genügen können, so findet man, dafs für dieselben
a — b2 von der Form 4k(8n + 7) wird.
Man könnte auch unter die Grenze /3a - 2 - 1 hinabgehen,
um zu versuchen, ob es noch andere Lösungen giebt; jedoch müssen
die Werte von b stets durch 2k+1 teilbar sein.
4) Ist endlich a von der Form 22k+2(2n + 1), wo k nicht
Null ist, so mufs jede der Zahlen s, t, u, v durch 2- und ihre Summe
b durch 2k+1 teilbar sein. Setzt man also a = 22ka', b =-2b'
s =2s', t 2t', u - 2 2', v -= 2v', so reducieren sich die gegebenen Gleichungen auf die folgenden:
a s'2 + t'2 + 2t + v'
b= s' + t' + t' + ',
in denen a' von der Form 8 n + 4 ist, und die somnit zum zweiten
Falle gehören, sowie der vorhergehende zum ersten gehörte.
631.
Die in diesem Paragraphen entwickelte Theorie bildet
die Grundlage für den allgemeinen Beweis des Fermat'sehen
Satzes, mit dem wir uns im folgenden Paragraphen beschäftigen
werden. Dieselbe kann auch bei mehreren andern Untersuchungen
der unbestimmten Analysis von Nutzen sein.
Man erkennt bereits, dafs diese Theorie den beiden ersten Fällen
des Satzes über die Polygonalzahlen eine bemerkenswerte Erweiterung
giebt, insofern sie die Mittel an die Hand giebt, nicht nur, um eine
gegebene Zahl in drei oder vier Quadrate zu zerlegen, sondern auch,
um zu bewirken, dafs die Summe der Wurzeln dieser Quadrate gleich
einer gegebenen, zwischen gewissen Grenzen liegenden, Zahl werde.
~ 2.
Beweis des Fermat'schen Satzes über die Polygonalzahlen und einiger
andrer analoger Sätze.
632.
Wir haben oben (Artikel 156) gezeigt, dafs eine Polygonalzahl
von der Ordnung m + 2 zum allgemeinen Ausdruck
- (x- - x) +