Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

330 Sechster Hauptteil.
kleiner als die angegebene Grenze sind, Lösungen in positiven Zahlen
geben, und diese Lösungen werden allemal, wo solche stattfinden,
ebenfalls mit Ilülfe der Formeln (4) gefunden. Hiervon wird man
später eine grofse Anzahl von Beispielen kennen lernen.
628.
Zweitar Fall: a und b sind gerade.
Da die Zahlen a und b gerade sind, so ist 4a - b2 durch 4
teilbar, und da diese Gröfse durch x2 + y2 -+ z dargestellt ist, so
müssen die drei Zahlen x, y, S gerade sein. Man vereinfacht daher
die Gleichung, wenn man 2x, 2y, 2z an die Stelle von x, y, z setzt,
wodurch sich ergiebt:
(5) a-( )2 x2+ + z2
Ist sodann a (- b)'2 nicht von der Form 4k(8,n + 7), so wird
dieser Gleichung durch jede eigentliche oder uneigentliche trinäre
Form der Zahl a — -b) genügt. Kennt man also die drei Zahlen
x, y, z, so erhält man zur Bestimmung der Zahlen s, t, u, v die vier
Gleichungen:
s + t + ut + v -
s + t - u - v 2x
s + u - t - v =2y
s v - t - u 4- 2,
und aus diesen folgt:
1b + x + y ~ Z
S ==~2
t -2 - +
(6) i
1 — b +
v -- = b -- s + y
Diese Werte sind in den beiden Fällen, welche durch das doppelte Zeichen dargestellt werden, ganze Zahlen; es ergeben sich somit
stets zwei Lösungen, mit Ausnahme des Falles S = 0, in welchem
sich die beiden Lösungen auf eine einzige reducieren.